Nếu trong 2021 số tự nhiên đã cho có ít nhất 1 số chẵn thì sẽ có 1 tổng của 5 số chứa 1 số chẵn đó là chẵn => mâu thuẫn với đề bài

=> trong 2021 số tự nhiên đã cho đều là số lẻ

=> tổng của 2021 trên là lẻ

\(MD\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => MD//AC => MD//AE 

\(ME\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => ME//AB => ME//AD 

=> ADME là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(\widehat{A}=90^o\)

=> ADME là hình chữ nhật

Ta có

MD//AC (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{C}\) (góc đồng vị)

Mà \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{BMD}\) => tg BMD cân tại D => BD = MD

Mà MD = AE (cạnh đối hbh)

=> BD = AE

\(\Rightarrow AD+AE=AD+BD=AB\)

Xét tg vuông ADE có

\(DE^2=AD^2+AE^2\) (Pitago)

\(\Rightarrow DE^2=\left(AD+AE\right)^2-2AD.AE=AB^2-2AD.AE\)

Ta thấy DE nhỏ nhất khi \(DE^2\) nhỏ nhất

AB không đổi \(\Rightarrow AB^2\) không đổi => DE nhỏ nhất khi AD.AE lớn nhất

Mà AD+AE=AB không đổi (cmt)

=> AD.AE lớn nhất khi AD = AE (Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số bằng nhau)

=> ADME là hình vuông

=> ME=AD=MD (cạnh hình vuông); MD=BD (cmt) => BD=AD

Xét tg ABC có

MD//AC(cmt); BD=AD (cmt) => MB=MC (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> DE nhỏ nhất khi M là trung điểm BC

Ta có 

MB=MC (cmt); ME//AB (cmt) => AE=CE (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Mà AB=AC 

\(\Rightarrow AD=BD=AE=CE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2}{2}=1cm\)

\(\Rightarrow DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}cm\)

Chia tổng 2 số thành 9 phần bằng nhau thì hiệu 2 số là 1 phần như thế

Số phần bằng nhau chỉ số bé là

(9-1):2=4 phần

Số phần bằng nhau chỉ số lớn là

9-4=5 phần

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----| Tổng

|-----|-----|-----|-----| Số bé

|-----| Hiệu

Nhìn vào sơ đồ đoạn thẳng ta thấy số phần bằng nhau chỉ 27 đơn vị là 3 phần

Giá trị 1 phần là

27:3=9

Số lớn là

9x5=45

Số bé là

9x4=36 

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-\left(2ab+2bc+2ca\right)\) (1)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\left(2ab+2bc+2ca\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)

Diện tích mỗi nắp cống là \(3,14.0,4^2=0,5024m^2\)

Tổng diện tích phải sơn là \(0,5024.1500=753,6m^2\)

Số thùng sơn cần dùng là \(753,6:10=75,36\) thùng

Số lựng sơn cần dùng là \(75,36.15=11304l\)

Gọi số cốc trà sữa phải bán để đạt lợi nhuận ít nhất 25 tr là x

Chi phí (thuê mặt bằng,....) phân bổ cho mỗi cốc trà sữa là \(\dfrac{35000000}{x}\)

Lãi mỗi cốc trà sữa là \(28000-12000-\dfrac{35000000}{x}=\dfrac{16000x-35000000}{x}\)

Ta có phương trình

\(\dfrac{16000x-35000000}{x}.x=25000000\)

\(\Leftrightarrow16000x-35000000=25000000\Leftrightarrow x=3750\)

Ta có

\(AO\perp BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường thẳng nối điểm đó với tâm vuông góc với đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{OHB}=90^o\)

Xét tg ABD và tg AEB có

\(\widehat{BAE}\) chung

\(sđ\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc nt đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)

=> tg ABD đồng dạng với tg AEB (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

Xét tg vuông ABO có

\(AB^2=AH.AO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AD.AE=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AE}\)

Xét tg ADO và tg AHE có

\(\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AE}\left(cmt\right);\widehat{OAE}\) chung

=> tg ADO đồng dạng với tg AHE (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{AEH}\) (1)

=> O và E cùng nhìn DH dưới 2 góc bằng nhau; O và E cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ DH => OHDE là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ODH}=\widehat{OEH}\) (góc nt cùng chắn cung OH) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AOD}+\widehat{ODH}=\widehat{AEH}+\widehat{OEH}=\widehat{AEO}\)

Xét tg ODH có

\(\widehat{AHD}=\widehat{AOD}+\widehat{ODH}=\widehat{AEO}\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó) (3)

Xét tg ODE có

OD = OE (Bán kính (O)) => tg ODE cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{ODE}=\widehat{AEO}\) (góc ở đáy tg cân) (4)

Xét tứ giác nt OHDE có

\(\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\) (góc nt cùng chắn cung OE) (5)

Từ (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{OHE}\)

Mà

\(\widehat{AHD}+\widehat{BHD}=\widehat{AHB}=90^o\)

\(\widehat{OHE}+\widehat{BHE}=\widehat{OHB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BHD}=\widehat{BHE}\) (đpcm)

a/

Ta có

\(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}+\widehat{A}=90^o+\widehat{A}\)

\(\widehat{NAB}=\widehat{NAC}+\widehat{A}=90^o+\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{NAB}\) (1)

\(AM=AB\left(gt\right)\) (2)

\(AC=AN\left(gt\right)\) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg AMC = tg ABN (c.g.c) => CM = BN

b/

Gọi I là giao của BN với AC; K là giao của BN với CM

Ta có

tg AMC = tg ABN (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{ACM}\) (4)

Xét tg vuông ANI có

\(\widehat{ANB}+\widehat{AIN}=90^o\) (5)

\(\widehat{AIN}=\widehat{BIC}\) (góc đối đỉnh) (6)

Xét tg CKI

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{ACM}+\widehat{BIC}=90^o\Rightarrow\widehat{CKN}=90^o\Rightarrow CM\perp BN\)

\(\dfrac{3a+2b-c}{a+b}=\dfrac{3b+2c-a}{b+c}=\dfrac{3c+2a-b}{c+a}=\)

\(=2+\dfrac{a-c}{a+b}=2+\dfrac{b-a}{b+c}=2+\dfrac{c-b}{c+a}=\)

\(=\dfrac{a-c}{a+b}=\dfrac{b-a}{b+c}=\dfrac{c-b}{c+a}=\dfrac{a-c+b-a+c-b}{a+b+b+c+c+a}=0\)  (T/c dãy tỷ số bằng nhau)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{a^3}{2a.2a.2a}=\dfrac{1}{8}\)

\(\overline{a817b}⋮6\) => \(\overline{a817b}\) đồng thời chia hết cho 2 và 3

\(\overline{a817b}⋮3\Rightarrow a+8+1+7+b=a+b+16=a+b+1+15⋮3\)

\(\Rightarrow a+b+1⋮3\) (1)

\(\overline{a817b}⋮2\Rightarrow b=\left\{0;2;4;6;8\right\}\) 

Thay từng giá trị của b để tìm a sao cho thỏa mãn (1)