a/

\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\left(gt\right)\) (1)

\(sđ\widehat{MAB}=\dfrac{1}{2}sđcungMB\) (góc nt) (2)

\(sđ\widehat{MAC}=\dfrac{1}{2}sđcungMC\) (góc nt) (3)

Từ (1) (2) và (3) \(\Rightarrow sđcungMB=sđcungMC\Rightarrow MB=MC\) (trong đường tròn 2 cung có số đo bằng nhau thì 2 dây trương cung bằng nhau) => tg MBC cân

b/

\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\left(gt\right)\)

\(\widehat{NAC}=\widehat{NAx}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{NAx}=\widehat{MAC}+\widehat{NAC}=\widehat{MAN}\)

Mà \(\left(\widehat{MAB}+\widehat{NAx}\right)+\left(\widehat{MAC}+\widehat{NAC}\right)=\widehat{BAx}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAB}+\widehat{NAx}=\widehat{MAC}+\widehat{NAC}=\widehat{MAN}=\dfrac{180^0}{2}=90^o\)

Ta có

\(sđ\widehat{MAN}=\dfrac{1}{2}sđcungMCN\Rightarrow sđcungMCN=2sđ\widehat{MAN}=180^o\)

=> MN là đường kính của (O) \(\Rightarrow O\in MN\) => M; O; N thẳng hàng

a/

\(BD\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BH\perp AC\)

\(\widehat{ACF}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow FC\perp AC\)

=> BH//FC (cùng vg với AC)

C/m tương tự có CH//FB

=> BFCH là hình bình hành

b/ Nối HF cắt BC tại M' => M'B=M'C (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> M' là trung điểm BC mà M cũng là trung điểm BC (gt) => M trùng M' => H, M, F thẳng hàng

\(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông ACB

\(CE^2=AE.BE\) (Trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Xét tg vuông ADB

\(DE^2=AE.BE\) (Trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow CE^2+DE^2=2AE.BE\)

\(\Rightarrow\left(CE+DE\right)^2-2CE.DE=2AE.BE\)

\(\Rightarrow CD^2-2CE.DE=2AE.BE\)

Ta có

CE=DE (Trong hình tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

\(\Rightarrow CD^2=-2CE^2=2AE.BE\)

\(\Rightarrow CD^2-2AE.BE=2AE.BE\Rightarrow CD^2=4AE.BE\)

a/ Xét tg BCH

\(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CM\perp BH\)

\(\widehat{ANB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow HN\perp BC\)

\(\Rightarrow CH\perp AB\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

b/

Xét tg vuông CMH có

\(IH=IC=\dfrac{CH}{2}\left(gt\right)\Rightarrow MI=\dfrac{CH}{2}\)  (Trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow MI=IC\) => tg IMC cân tại I \(\Rightarrow\widehat{ICM}=\widehat{IMC}\) (1)

Xét tg OBM có

OB=OM => tg OBM cân tại O \(\Rightarrow\widehat{OBM}=\widehat{OMB}\) (2)

Xét (O)

\(\widehat{OBM}=\widehat{ANM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (3)

Xét tứ giác CHMN có M và N cùng nhìn CH dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => CHMN là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{HCM}=\widehat{ANM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung HM) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow\widehat{IMC}=\widehat{OMB}\)

Mà \(\widehat{OMB}+\widehat{OMA}=\widehat{AMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{IMC}+\widehat{OMA}=\widehat{IMO}=90^o\Rightarrow MI\perp OM\) => MI là tiếp tuyến của (O)

Xét tg MBC và tg MDA có

\(\widehat{BMD}\) chung

\(\widehat{MBC}=\widehat{MDA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

=> tg MBC đồng dạng với tg MDA (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\Rightarrow MA.MB=MC.MD\)

Ta có

AB//CD \(\Rightarrow sđcungAC=sđcungBD\) (trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau) (1)

\(sđ\widehat{AMC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc nội tiếp) (2)

\(sđ\widehat{BMD}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc nội tiếp) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{BMD}\)

Tổng số trận đấu là

\(\dfrac{4x\left(4-1\right)}{2}=6\) trận

Số trận có thắng - thua là

6-3=3 trận

Mỗi trận thắng có 3 điểm mỗi trận hòa có 2 điểm

Tổng số điểm của 6 trận là

3x3+3x2=15 điểm

Số điểm của bạn Bình là

15-(5+2+1)=7 điểm

a/

\(A⋮5\Rightarrow y=\left\{0;5\right\}\)

Với y=0 \(\Rightarrow A=\overline{43x0}⋮3\Rightarrow4+3+x=7+x⋮3\Rightarrow x=\left\{2;5;8\right\}\)

Với y=5 \(\Rightarrow A=\overline{43x5}⋮3\Rightarrow4+3+x+5=12+x⋮3\Rightarrow x=\left\{0;3;6;9\right\}\)

b/

A : 5 dư 2 \(\Rightarrow y=\left\{3;8\right\}\)

Với y=3 \(\Rightarrow A=\overline{43x3}⋮9\Rightarrow4+3+x+3=10+x⋮9\Rightarrow x=8\)

Với y=8 \(\Rightarrow A=\overline{43x8}⋮9\Rightarrow4+3+x+8=15+x⋮9\Rightarrow x=3\)

a/

Ta có

AD=AB (gt) (1); AC=AE (gt) (2)

\(\widehat{CAD}=\widehat{BAD}+\widehat{A}=90^o+\widehat{A}\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}+\widehat{A}=90^o+\widehat{A}\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{BAE}\) (3)

Từ (1) (2) (3) => tg ACD = tg AEB (c.g.c)

b/

Gọi K là giao của CD và AB; I là giao của CD và BE

tg ACD = tg AEB (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{ABE}\) (4)

\(\widehat{AKD}=\widehat{IKB}\) (góc đối đỉnh) (5)

Xét tg vuông ADK có

\(\widehat{ADC}+\widehat{AKD}=90^o\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{ABE}+\widehat{IKB}=90^o\)

Xét tg BIK có

\(\widehat{ABE}+\widehat{IKB}=90^o\) (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BIK}=90^o\Rightarrow EB\perp CD\)

c/

Ta có \(AE\perp AC\left(gt\right)\) => ED không thể vuông góc với AC được (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đưởng thẳng cho trước chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho)

Số BC bao giờ cũng phải lớn hơn số dư => số BC nhỏ nhất là 34