\(465=15.31\)

c/

\(A=\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^4\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3\right)=\)

\(=15\left(1+2^4+2^8+...+2^{96}\right)⋮15\)

\(A=\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{95}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)=\)

\(=31\left(1+2^5+2^{10}+...+2^{95}\right)⋮31\)

A đồng thời chia hết cho 15 và 31 mà 15 và 31 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow A⋮15.31=465\)

d/

\(2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\)

\(\Rightarrow A=2A-A=2^{100}-1\)

\(\Rightarrow A+1=2^{100}-1+1=2^{100}=2^n\Rightarrow n=100\)

Ta có

DE//AB (gt) => DE//AF

DF//AC (gt) => DF//AE

=> AEDF là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau là hbh)

Gọi O là giao của AD và EF

=> OE=OF (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (gt)

=> tg AEF là tg cân tại A (Tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác là tg cân)

=> AE=AF 

=> AEDF là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh liền kề bằng nhau là hình thoi)

+ Với \(n=1\)

\(10^n+18n-1=27⋮27\)

+ Giả sử với \(n=k\) mà

\(10^k+18k-1⋮27\)

+ Ta cần c/m với \(n=k+1\) thì

\(10^n+18n-1=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1⋮27\)

Ta có

\(10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1=\)

\(=10.10^k+18k+18-1=\)

\(=\left(10^k+18k-1\right)+9.10^k+18\)

Ta có 

\(9.10^k+18=9.\left(999...9+1\right)+18=\) (có k chữ số 9)

\(=9.\left(9.111...1+1\right)+18=\) (có k chữ số 1)

\(=81.111...1+9+18=3.27.111...1+27=\)

\(=27\left(3.111...1+1\right)⋮27\)

Mà \(10^k+18k-1⋮27\)

\(\Rightarrow10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1⋮27\)

Theo nguyên lý phương pháp quy nạp

\(\Rightarrow10^n+18n-1⋮27\forall n\in\)N*

a/

ME//AB (gt) => ME//AF

MF//AC (gt) => MF//AE

=> AFME là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

b/

Để AFME là hình thoi thì AE=AF (hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau là hình thoi)

=> tg AFE là tg cân tại A

Ta có OF=OE (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => AO là đường trung tuyến của tg AFE

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> để AFME là hình thoi thì M phải là giao của đường phân giác \(\widehat{A}\) với BC

Nối BN, 2 tam giác ABN và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ABN}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}\)

Hai tam giác AMN và tg ABN có chung đường cao từ N->AB nên

\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABN}}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{AMN}=\dfrac{1}{2}S_{ABN}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)

Nối CM chứng minh tương tự ta có

\(S_{BMP}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)

Nối AP chứng minh tương tự ta có

\(S_{CPN}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{MNP}=S_{ABC}-S_{AMN}-S_{BMP}-S_{CPN}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{4}\)

\(a^2+ab-3a=3+2b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a-a+2+ab-2b=5\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-2\right)-\left(a-2\right)+b\left(a-2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+b-1\right)=5\)

Ta có các trường hợp:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=1\\a+b-1=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=5\\a+b-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=-5\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=-1\\a+b-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-5\end{matrix}\right.\)

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}a-2=-5\\a+b-1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=3\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{7}{11}=\dfrac{14}{22}\Rightarrow1-\dfrac{14}{22}=\dfrac{8}{22}\)

\(1-\dfrac{17}{23}=\dfrac{6}{23}\)

\(\dfrac{8}{22}>\dfrac{8}{23}>\dfrac{6}{23}\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{11}< \dfrac{17}{23}\)

\(\dfrac{2n+12}{n+3}=\dfrac{2\left(n+3\right)+6}{n+3}=2+\dfrac{6}{n+3}\)

Để thỏa mãn đề bài thì

\(6⋮n+3\Rightarrow\left(n+3\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-9;-6;-5;-4;-2;-1;0;3\right\}\)

Do n là số TN \(\Rightarrow n=\left\{0;3\right\}\)

Gọi vận tóc xe máy là x; vận tốc ô tô là y

Thời gian xe máy đi từ A đến chô gặp nhau lần 1 là

7 giờ 20 phút - 6 giờ = 1 giờ 20 phút = 4/3 giờ

Thời gian ô tô đi từ A đến chô gặp nhau lần 1 là

7 giờ 20 phút - 6 giờ 20 phút = 1 giờ

Trên cùng 1 quãng đường vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian

Ta có PT thứ nhất \(\dfrac{x}{y}=1:\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{4}\)

Thời gian xe máy đi từ A đến chô gặp nhau lần 2 là

8 giờ 40 phút - 6 giờ = 2 giờ 40 phút = 8/3 giờ

Thời gian ô tô đi từ A đến chô gặp nhau lần 2 là

8 giờ 40 phút - 6 giờ 20 phút = 2 giờ 20 phút = 7/3 giờ

Khi 2 xe gặp nhau lần thứ 2 thì tổng quãng đường đi được của 2 xe gấp 2 lần chiều dài quãng đường AB 

Ta có PT thứ 2

\(\dfrac{8}{3}x+\dfrac{7}{3}y=2.130=260\)

Ta có Hệ PT

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}\\\dfrac{8}{3}x+\dfrac{7}{3}y=260\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải nhé

Xét tg AIB và tg APB có

AI=AP (gt); BI=BP (gt); AB chung => tg AIB = tg APB (c.c.c)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{APB}\)