a/

\(B\in\left(K\right);B\in\left(I\right)\)

BC là đường kính của (K); BD là đường kính của (I) và \(BC\equiv BD\)

=> (I) tiếp xúc với (K) tại B

c/

Xét tg ABK có

KA=KB => tg ABK cân tại K \(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{ABK}\)

Xét tg EBI có

IE=IB => tg EBI cân tại I \(\Rightarrow\widehat{BEI}=\widehat{ABK}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{BEI}\) 2 góc này ở vị trí đồng vị => AK//IE

Xét (I) có \(\widehat{BED}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) 

Xét (K) có \(\widehat{BAC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) 

=> DE//AC (cùng vg với AB)

Xét tg vuông BED và tg vuông BAC có

\(\widehat{ABC}\) chung

=> tg BED đồng dạng với tg BAC \(\Rightarrow\dfrac{CA}{DE}=\dfrac{BC}{BD}\) không đổi

\(\left(4xy-2y\right)-\left(6x-3\right)=13\)

\(\Leftrightarrow2y\left(2x-1\right)-3\left(2x-1\right)=13\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2y-3\right)=13=1.13\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x-1=1\\2y-3=13\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x-1=13\\2y-3=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=8\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

a/

\(26=2.13\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=13\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=13\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

b/

\(23=3.7\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

c/

\(26=2.13\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b+2=13\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=13\\b+2=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=11\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=13\\b=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

d/

\(21=3.7\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b-2=7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b-2=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=9\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

a/

DE//BC (gt) nên

\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\) (Góc so le trong)

\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\) (Góc so le trong)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) => tg AED cân tại A => AE=AD

b/

DE//BC (gt) => DEBC là hình thang

Xét tg ABE và tg ADC có

AE=AD (cmt); AB=AC (cạnh bên tg cân)

\(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\) (Góc đối đỉnh)

=> tg ABE = tg ACD (c.g.c) => BE=CD

=> DEBC là hình thang cân

Gọi chiều cao của cột điện là h

\(\tan\widehat{AMB}=\tan38^o=\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{h}{AM}\Rightarrow AM=\dfrac{h}{\tan38^o}\)

\(\tan\widehat{CMD}=\tan56^o=\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{h}{CM}\Rightarrow CM=\dfrac{h}{\tan56^o}\) 

\(\Rightarrow AM+CM=AC=80=h\left(\dfrac{1}{\tan38^o}+\dfrac{1}{\tan56^o}\right)\)

\(\Rightarrow h=80:\left(\dfrac{1}{\tan38^o}+\dfrac{1}{\tan56^o}\right)\)

Thay h vào các biểu thức tính AM và CM

\(AE=3EB\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{3}{4}\)

Xét tg AEF và tg ABC có

\(\widehat{A}\) chung 

\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (Góc đồng vị)

=> tg AEF đồng dạng với tg ABC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{EF}{8}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EF=\dfrac{3.8}{4}=6\)

a/

\(\widehat{ACM}=90^o\) (Góc nt chắn nửa đường tròn)

b/

\(\widehat{ABM}=90^o\) (Góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=\widehat{ABM}=90^o\)

Xét tg vuông ABH

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{MBC}\)

\(\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\) (Góc nt cùng chắn cung MC)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\)

Xét tg OAC có

OA = OC = R => tg OAC cân tại O \(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{OCA}\) (Góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{OCA}\)

c/

\(\widehat{ANM}=90^o\)  (Góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow MN\perp AH\)

Mà \(BC\perp AH\left(gt\right)\)

=> MN//BC (Cùng vg với AH)

=> BCMN là hình thang

\(sđ\widehat{BAH}=\dfrac{1}{2}sđcungBN\) (Góc nt đường tròn)

\(sđ\widehat{MAC}=\dfrac{1}{2}sđcungCM\) (Góc nt đường tròn)

Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{MAC}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow sđcungBN=sđcungCM\Rightarrow BN=CM\) (trong đường tròn 2 cung có số đo = nhau thì 2 dây trương cung bằng nhau)

=> BCMN là hình thang cân

\(\widehat{ANM}=90^o\) 

\(\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

Hai tg ABE và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow S_{ABE}=\dfrac{3xS_{ABC}}{5}=\dfrac{3.30}{5}=18cm^2\)

\(S_{ACE}=S_{ABC}-S_{ABE}=30-18=12cm^2\)

Hai tg ADE và tg ACE có chung đường cao từ E->AC nên

\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ACE}}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ADE}=\dfrac{S_{ACE}}{2}=\dfrac{12}{2}=6cm^2\)

2 tg ADE và tg ABE có chung AE nên

\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABE}}=\) đường cao từ D->AE / đường cao từ B->AE \(=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\)

2 tg ADK và tg ABK có chung AK nên

\(\dfrac{S_{ADK}}{S_{ABK}}=\) đường cao từ D->AE / đường cao từ B->AE \(=\dfrac{1}{3}\)

2 tg ADK và tg ABK có chung đường cao từ A->BD nên

\(\dfrac{S_{ADK}}{S_{ABK}}=\dfrac{DK}{BK}=\dfrac{1}{3}\)

a/ Xét tg vuông CMH và tg vuông CAD có

\(\widehat{ACD}\) chung

=> tg CMH đồng dạng với tg CAD

\(\Rightarrow\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{CH}{CD}\Rightarrow CM.CD=CH.CA\)

b/ 

Xét tg vuông ABC có

\(BC^2=CH.CA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giwac hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Kết hợp với kết quả của câu a \(\Rightarrow CM.CD=BC^2\)

a/

Xét hình thoi ABCD có

AD//=BC (cạnh đối hình thoi)

Xét hình thoi CBIF có

IF//=BC (cạnh đối hình thoi)

=> AD//IF => ADFI là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

b/

Xét hình bình hành ADFI có

DF//AI (cạnh đối hbh)

\(BE\perp AI\) (trong hình thoi 2 đường chéo vuông góc)

\(\Rightarrow BE\perp DF\)

c/

Xét hình thoi ABIE có

AE//=BI (cạnh đối hình thoi)

Xét hình thoi CBIF có

CF//=BI (cạnh đối hình thoi)

=> AE//=CF (1) => ACFE là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Xét hình thoi ABCD có

\(BD\perp AC\) (trong hình thoi 2 đường chéo vuông góc) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BD\perp EF\)

Xét tg DEF có

\(BE\perp DF\left(cmt\right);BD\perp EF\left(cmt\right)\) => B là trực tâm của tg DEF