Gọi số nhà của Hùng là A \(\Rightarrow A-1\) đồng thời chia hết cho 6;7

=> A-1 là UC(6;7) có 2 chữ số

\(\Rightarrow A-1=\left\{42;84\right\}\Rightarrow A=\left\{43;85\right\}\)

Mà \(A⋮5\Rightarrow A=85\)

a/

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)

Xét tg vuông HKC có

\(\widehat{KHC}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{KHC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

b/

Xét tg vuông ABH và tg vuông KBH có

BH chung

\(\widehat{ABH}=\widehat{KBH}\) (gt)

=> tg ABH = tg KBH (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

Xét tg ABK có

tg ABH = tg KBH => tg ABK cân tại B

\(\widehat{ABH}=\widehat{KBH}\) (gt)

=> BH là trung trực của AK (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung trực)

c/

Xét tg IBC có 

\(BD\perp CI;CA\perp BI\) => H là trực tâm tg IBC 

\(IH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng qui)

Mà \(HK\perp BC\)

\(\Rightarrow IH\equiv HK\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vg với đường thẳng đã cho)

=> I, H, K thảng hàng

d/

Xét tg ABD và tg KBD có

BD chung

tg ABD là tg đều => AD=KD

tg ABK là tg cân (cmt) => AB=KB

=> tg ABD = tg KBD (c.c.c) \(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{KDB}\)

Mà \(\widehat{ADB}+\widehat{KDB}=\widehat{ADK}=60^o\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{KDB}=30^o\)

Xét tứ giác AHDI có A và D cùng nhìn HI dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> tứ giác AHDI là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{BIK}=\widehat{ADB}=30^o\) (góc nt cùng chắn cung AH)

Xét tg vuông BIK có

\(\widehat{ABC}+\widehat{BIK}=90^o\Rightarrow\widehat{ABC}=90^o-\widehat{BIK}=90^o-30^o=60^o\)

Để tg ADK là tg đều thì tg vuông ABC phải có \(\widehat{ABC}=60^o\)

a/

Xét tg vuông BCF có

MB=MC (gt) \(\Rightarrow MF=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg MCF cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{BCF}\) (1)

Xét tg vuông ABD có \(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=90^o\) (2)

Xét tg vuông BCF có \(\widehat{BCF}+\widehat{ABC}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{BAD}\) (4)

Xét tg vuông AHF có \(\widehat{BAD}+\widehat{AHF}=90^o\) (5)

Xét tg vuông AHF có

IA=IH (gt) \(\Rightarrow IA=IH=IF=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg IHF cân tại I => \(\widehat{IFH}=\widehat{IHF}\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{MFC}+\widehat{IFH}=\widehat{MFI}=90^o\)

Xét tg vuông AHE có

IA=IH (cmt) \(\Rightarrow IA=IH=IE=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(IF=\dfrac{AH}{2}\left(cmt\right)\)

=> IE=IF (7)

Xét tg vuông BCE có

MB=MC (gt) \(\Rightarrow MB=MC=ME=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(MF=\dfrac{BC}{2}\) (cmt)

=> ME=MF (8)

Xét tg MIE và tg MIF có MI chung (9)

Từ (7) (8) (9) => tg MIE = tg MIF (c.c.c)

\(\Rightarrow\widehat{MIF}=\widehat{MIE}\) (10)

Xét tg IEF có 

IE=IF (cmt) => tg IEF cân tại I (11)

Từ (10) (11) => \(IM\perp EF\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông MFI có

\(IF^2=IK.IM\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông băng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Mà \(IF=\dfrac{AH}{2}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AH}{2}\right)^2=IK.IM\Rightarrow AH^2=4IK.IM\)

b/

Xét tg BHC có

\(\widehat{BHF}=\widehat{BCH}+\widehat{CBH}\) (trong tgt góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\cos BHF=\cos\left(BCH+CBH\right)=\)

\(=\cos BCH.\cos CBH-\sin BCH.\sin CBH\) 

a/

\(\overline{ab}+\overline{cd}+\overline{eg}=10a+b+10c+d+10e+g=\)

\(=11\left(a+c+e\right)-\left(a+c+e-b-d-g\right)⋮11\)

Mà \(11\left(a+c+e\right)⋮11\)

\(\Rightarrow a+c+e-b-d-g=\left(a+c+e\right)-\left(b+d+g\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\overline{abcdeg}⋮11\) (1 số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ (chẵn) với tổng các chữ số ở vị trí chẵn (lẻ) chia hết cho 11)

b/

\(\overline{abc}+\overline{deg}⋮37\Rightarrow1001\left(\overline{abc}+\overline{deg}\right)⋮37\)

\(1001\left(\overline{abc}+\overline{deg}\right)=1000\overline{abc}+\overline{deg}+\left(\overline{abc}+\overline{deg}\right)+37.27\overline{deg}⋮11\)

Mà \(\overline{abc}+\overline{deg}⋮11;37.27.\overline{deg}⋮37\)

\(\Rightarrow1000\overline{abc}+\overline{deg}=\overline{abcdeg}⋮37\)

c/

\(\overline{abcd}=100\overline{ab}+\overline{cd}=99\overline{ab}+\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)⋮99\)

Mà \(99\overline{ab}⋮99\Rightarrow\overline{ab}+\overline{cd}⋮99\)

Đề bài sai phải sửa thành \(a+11b+3c⋮17\)

\(a+11b+3c⋮17\Rightarrow2\left(a+11b+3c\right)=2a+22b+6c⋮17\)

Ta có

\(2a+22b+6c=\left(2a+5b+6c\right)+17b⋮17\)

Do \(17b⋮17\Rightarrow2a+5b+6c⋮17\)

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcde}\) theo đề bài

\(\overline{abcde}=45.a.b.c.d.e\left(a;b;c;d;e\ne0\right)\) 

\(\overline{abcde}=45.a.b.c.d.e⋮5\Rightarrow e=5\Rightarrow\overline{abcde}\) là số lẻ

\(\Rightarrow a;b;c;d\) lẻ

Ta có

\(\overline{abcde}=\overline{abcd5}=5.9.a.b.c.d.5=9.25.a.b.c.d⋮25\)

\(\Rightarrow\overline{d5}⋮25\Rightarrow d=7\)

\(\Rightarrow\overline{abcde}=\overline{abc75}=9.25.a.b.c.7⋮9\)

\(\Rightarrow a+b+c+7+5=12+\left(a+b+c\right)⋮9\) 

Do a; b; c lẻ => (a+b+c) lẻ => a+b+c=15

\(\overline{abcde}=\overline{abc75}=9.25.7.a.b.c⋮7\)

\(\Rightarrow\overline{abc75}=100.\overline{abc}+75=98.\overline{abc}+77+2.\overline{abc}-2⋮7\)

\(98.\overline{abc}+77⋮7\Rightarrow2.\left(\overline{abc}-1\right)⋮7\Rightarrow\overline{abc}-1⋮7\)

\(\overline{abc}-1=100.a+10.b+c-1=\)

\(=98.a+7.b+2.a+3.b-1⋮7\)

\(98.a+7.b⋮7\Rightarrow2.a+3.b+c-1⋮7\)

Ta có

\(2a+3b+c-1=2\left(a+b+c\right)+b-c-1=\)

\(=2.15+\left(b-c\right)-1=28+\left(b-c\right)+1⋮7\)

\(28⋮7\Rightarrow\left(b-c\right)+1⋮7\) Do b; c lẻ => (b-c) chẵn

\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left\{-8;6\right\}\)

+ Với \(b-c=-8\Rightarrow b=1;c=9\) Thay vào \(a+b+c=15\Rightarrow a=5\)

\(\Rightarrow\overline{abcde}=\overline{51975}\)

Thử \(45.5.1.9.7.5=70785\ne51975\) (loại)

+ Với \(b-c=6\Rightarrow b=7;c=1\) hoặc \(b=9;c=3\)

Với \(b=7;c=1\) thay vào \(a+b+c=15\Rightarrow a=7\)

\(\Rightarrow\overline{abcde}=77175\)

Thử \(45.7.7.1.7.5=77175\) (chọn)

Với \(b=9;c=3\) Thay vào \(a+b+c=15\Rightarrow a=3\)

\(\Rightarrow\overline{abcde}=39375\)

Thử \(45.3.9.3.7.5=127575\ne39375\) (loại)

Kết luận \(\overline{abcde}=77175\)

\(\overline{25a2b}⋮36\) khi đòng thời chia hết cho 4 và 9

\(\overline{25a2b}⋮4\Rightarrow b=\left\{0;4;8\right\}\)

\(\overline{25a2b}⋮9\Rightarrow2+5+a+2+b=9+\left(a+b\right)⋮9\Rightarrow a+b⋮9\)

+ Với \(b=0\Rightarrow a=\left\{0;9\right\}\)

+ Với \(b=4\Rightarrow a=5\)

+ Với \(b=8\Rightarrow a=1\)

\(S_{AEF}=S_{ABCD}-\left(S_{ABE}+S_{ECF}+S_{ADF}\right)=\)

\(=16-\dfrac{1}{2}\left(AB.BE+CE.CF+AD.DF\right)=\)

\(=16-\dfrac{1}{2}\left(4.BE+CE.CF+4.DF\right)=\)

\(=16-2\left(BE+DF\right)-\dfrac{1}{2}CE.CF=\)

\(=16-2\left(CF+DF\right)-\dfrac{1}{2}CE.CF=\)

\(=16-2CD-\dfrac{1}{2}CE.CF=8-\dfrac{1}{2}CE.CF\)

Để \(S_{AEF}\) nhỏ nhất thì CE.CF lớn nhất

Mà 

\(CE+CF=CE+BE=BC=4cm\) không đổi

=> CE.CF lớn nhất khi CE=CF (Hai số có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi 2 số bằng nhau)

Mà CF=BE => CE=BE=CF => DF=CF=CE=BE

=> E là trung điểm BC; F là trung điểm CD

Xét tg AMC có

\(\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

Mà \(MA=MB=MC=\dfrac{1}{2}BC\) => tg AMC cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=2\widehat{MAC}\)

c/m tương tự ta cũng có \(\widehat{AMC}=2\widehat{MAB}\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=\widehat{BMC}=180^o=2\left(\widehat{MAC}+\widehat{MAB}\right)=2\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

a/

Trong (ABD) Từ P dựng đường thẳng //AB cắt AD tại Q'

Xét tg ABC có

NA=NC; MB=MC => MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//AB và \(MN=\dfrac{1}{2}AB\)

=> MN//PQ' (cùng // với AB) \(\Rightarrow PQ'\in\left(MNP\right)\)

Ta có

\(N\in\left(MNP\right);N\in AC\Rightarrow N\in\left(ACD\right)\)

\(Q'\in\left(MNP\right);Q'\in AD\Rightarrow Q'\in\left(ACD\right)\)

=> NQ' là giao tuyến của (MNP) với (ACD)

b/

\(Q'\in AD;Q'\in\left(MNP\right)\left(cmt\right)\) => Q' là giao điểm của (MNP) với AD

c/

Xét tg ABD có

PQ//AB \(\Rightarrow\dfrac{DQ'}{Q'A}=\dfrac{DP}{PB}=2\Rightarrow DQ'=2Q'A\)

Mà \(DQ=2QA\) (gt)

\(Q;Q'\in AD\)

\(\Rightarrow Q\equiv Q'\)

Trong (ACD) Gọi K là giao của QN và DC; Từ N dựng đường thẳng //AD cắt DC tại E

Ta có \(\dfrac{DQ}{QA}=2\Rightarrow\dfrac{DQ}{DA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow DQ=\dfrac{2}{3}DA\)

Xét tg ACD 

NA=NC; NE//AD => EC=ED (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> NE là đường trung bình của tg ACD \(\Rightarrow NE=\dfrac{1}{2}AD\)

\(\Rightarrow\dfrac{NE}{DQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD}{\dfrac{2}{3}AD}=\dfrac{3}{4}\)

Xét tg KQD có NE//AD 

\(\Rightarrow\dfrac{KN}{KQ}=\dfrac{NE}{DQ}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow KN=3NQ\) (1)

Xét tg ABD có PQ//AB

\(\Rightarrow\dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{DQ}{DA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow PQ=\dfrac{2}{3}AB\)

Ta có \(MN=\dfrac{1}{2}AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MN}{PQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{2}{3}AB}=\dfrac{3}{4}\)

Trong (MNP) gọi K' là giao của QN với PM

Xét tg KPQ có MN//PQ (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{K'N}{K'Q}=\dfrac{MN}{PQ}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow K'N=3NQ\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow KN=K'N\) Mà K và K' đều thuốc QN \(\Rightarrow K'\equiv K\)

=> DC; QN; PM đồng qui