\(10^{999}>10^{998}=\left(10^2\right)^{499}=100^{499}>99^{499}>99^{100}\)

a/ Qua S dựng đường thẳng d//AD

d//AD; \(S\in\left(SAD\right)\Rightarrow d\in\left(SAD\right)\)

d//AD;AD//BC => d//BC mà \(S\in\left(SBC\right)\Rightarrow d\in\left(SBC\right)\)

=> d chính là giao tuyến của (SAD) và (SBC)

b/

Trong (SAC) gọi I là giao của AM với SO

\(I\in SO;SO\in\left(SBD\right)\Rightarrow I\in\left(SBD\right)\)

=> I là giao của AM với (SBD)

Ta có BC//AD \(\Rightarrow\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg SAM và tg CAM có chung đường cao từ A->SC và MS=MC nên \(S_{SAM}=S_{CAM}=S\)

2 tg AMO và tg CMO có chung đường cao từ M->AC nên

\(\dfrac{S_{AMO}}{S_{CMO}}=\dfrac{OA}{OC}=2\Rightarrow\dfrac{S_{AMO}}{2}=S_{CMO}=\dfrac{S_{AMO}+S_{CMO}}{2+1}=\dfrac{S_{CAM}}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AMO}}{S_{CAM}}=\dfrac{S_{AMO}}{S_{SAM}}=\dfrac{2}{3}\)

2 tg AMO và tg SAM có chung AM nên

\(\dfrac{S_{AMO}}{S_{SAM}}=\) đường cao từ O->AM/đường cao từ S->AM \(=\dfrac{2}{3}\)

2 tg OMI và tg SMI có chung IM nên

\(\dfrac{S_{OMI}}{S_{SMI}}=\)đường cao từ O->AM/đường cao từ S->AM\(=\dfrac{2}{3}\)

2tg OMI và tg SMI có chung đường cao từ M->SO nên

\(\dfrac{S_{OMI}}{S_{SMI}}=\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OI}{2}=\dfrac{SI}{3}=\dfrac{OI+SI}{2+3}=\dfrac{SO}{5}\Rightarrow\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{3}{5}\)

 c/

Gọi P là trung điểm của SA, Xét tg SAD có

PA=PS; ND=NS (gt) => PN là đường trung bình của tg SAD

=> PN//AD và \(PN=\dfrac{1}{2}AD\) 

Ta có

PN//AD; AD//BC => PN//BC

\(AD=2BC\Rightarrow BC=\dfrac{1}{2}AD\)

=> PN//BC và \(PN=BC=\dfrac{1}{2}AD\)

=> BCNP là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

=> CN//BP (cạnh đối hbh) mà \(BP\in\left(SAB\right)\) => CN//(SAB)

a/

Trong mp(SAC) Gọi K là giao của EF và AC

\(K\in EF\)

\(K\in AC;AC\in\left(ABC\right)\Rightarrow K\in\left(ABC\right)\)

=> K là giao của EF với (ABC)

b/

Trong mp (SBC), Gọi M là giao của SI với BF

\(M\in SI;SI\in\left(SAI\right)\Rightarrow M\in\left(SAI\right)\)

\(M\in BF;BF\in\left(ABF\right)\Rightarrow M\in\left(ABF\right)\)

\(A\in\left(SAI\right);A\in\left(ABF\right)\)

=> AM là giao tuyến giữa (SAI) và (ABF)

c/

\(I\in\left(SAI\right)\)

\(I\in BC;BC\in\left(BCE\right)\Rightarrow I\in\left(BCE\right)\)

\(E\in SA;SA\in\left(SAI\right)\Rightarrow E\in\left(SAI\right)\)

\(E\in\left(BCE\right)\)

=> IE là giao tuyến giữa (SAI) và (BCE)

Xét tư giác BCDE có

AD=AB (gt); AE=AC (gt) => BCDE là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> DE//BC (cạnh đối hbh) => DN//BM

Mà BM=DN (gt) 

=> BMDN là hbh (Tứ giác có 1 cawoj cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

Nối MN cắt BD tại A' => A'D=A'B (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà AD=AB (gt); \(A\in BD;A'\in BD\)

\(\Rightarrow A'\equiv A\) hay A; M; N thẳng hàng

Ta có BMDN là hbh (cmt) => AM=AN (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tg vuông ABC nếu

\(BM=CN\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà AM=AN (cmt)

\(\Rightarrow MN=AM+AN=\dfrac{BC}{2}+\dfrac{BC}{2}=BC\)

\(19a+20b⋮11;58a+10b⋮111\)

\(\Rightarrow19a+20b+58a+10b=77a+33b-3b⋮11\)

\(77a+33b⋮11\Rightarrow3b⋮11\Rightarrow b⋮11\)

\(19a+20b⋮11;58a+10b⋮111\)

\(\Rightarrow58a+10b-19a-20b=39a-10b=44a-11b-\left(5a-b\right)⋮11\)

\(44a-11b⋮11\Rightarrow5a-b⋮11\)

\(b⋮11\Rightarrow5a⋮11\Rightarrow a⋮11\)

Gọi vận tốc dự định là x và thời gian dự định là y

Ta có PT (1)

\(\left(x+5\right)\left(y-2\right)=\left(x-4\right)\left(y+3\right)\)

\(\Leftrightarrow xy-2x+5y-10=xy+3x-4y-12\)

\(\Leftrightarrow5x-9y=2\) 

Ta có PT (2)

\(\left(x-4\right)\left(y+3\right)=xy\)

\(\Leftrightarrow3x-4y=12\)

Ta có Hệ PT

\(\left\{{}\begin{matrix}5x-9y=2\\3x-4y=12\end{matrix}\right.\)

Giải hệ tìm được x;y. Quãng đường AB là xy

a/

Xét tg ABD và tg ACE có

\(\widehat{A}\) chung

AB=AC (cạnh tg cân)

\(\widehat{ABD}=\dfrac{\widehat{B}}{2};\widehat{ACE}=\dfrac{\widehat{C}}{2};\widehat{B}=\widehat{C}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

=> tg ABD = tg ACE (g.c.g) => AD=AE

b/ Gọi I là giao của BD và CE

Xét tg ADE có

AD=AE (cmt) => tg ADE cân tại A

AI là phân giác \(\widehat{A}\) (trong tg 3 đường phân giác đồng quy)

\(\Rightarrow AI\perp DE\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

C/m tương tự khi xét tg cân ABC \(\Rightarrow AI\perp BC\)

=> DE//BC (cùng vg với AI)

=> BEDC là hình thang

Ta có

\(BE=AB-AE;CD=AC-AD;AD=AE\Rightarrow CD=BE\)

=> BECD là hình thang cân

c/

Ta có DE//BC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{CBD}\) (góc so le trong)

\(\widehat{CBD}=\widehat{EBD}=\dfrac{\widehat{B}}{2}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{EBD}\) => tg EBD cân tại E => ED=BE

Mà BE=DC (cmt)

=> BE=ED=DC

\(=\dfrac{2022.2023-3.2022}{2020.2021+2020}=\dfrac{2022\left(2023-3\right)}{2020\left(2021+1\right)}=1\)

\(\overline{abc}=11\left(a+b+c\right)\)

\(100a+10b+c=11a+11b+11c\)

\(89a-b-10c=0\)

\(\left(a+b\right)=2b+10c-88a\)

Ta thấy \(a+b>0\Rightarrow2b+10c-88a\)

\(b\le9;c\le9\Rightarrow2b+10c\le2.9+10.9=108\)

\(\Rightarrow0< 2b+10c-88a\le108-88a\)

\(\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\overline{1bc}=11\left(1+b+c\right)\)

\(100+10b+c=11+11b+11c\)

\(\Rightarrow10c+b=89\Rightarrow\overline{cb}=89\Rightarrow b=9;c=8\)

Thử \(11\left(1+9+8\right)=198\)

\(\Rightarrow a+b=1+9=10\)

Đặt \(N=2^2+2^3+2^4+...+2^{19}+2^{20}\)

\(\Rightarrow2N=2^3+2^4+2^5+...+2^{21}\)

\(N=2N-N=2^{21}-2^2\)

\(\Rightarrow M=4+N=2^2+2^{21}-2^2=2^{21}\)