a/ Từ C dựng đường thẳng //EF

=> CKEF là hình thang

Xét tg vuông AEH và tg vuông AFH có

AH chung; \(\widehat{BAH}=\widehat{FAH}\left(gt\right)\) => tg AEH = tg AFH (2 tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\)

=> CKEF là hình thang cân \(\Rightarrow CF=KE\) (1)

Xét tgBCK có

CK//EF => EM//CK

MB=MC (gt)

=> KE=BE (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BE=CF\)

b/

tg AEH = tg AFH (cmt) \(\Rightarrow AE=AF\)

\(\dfrac{AB+AC}{2}=\dfrac{AE+BE+AF-CF}{2}=\dfrac{2AE}{2}=AE\)

\(\dfrac{AB-AC}{2}=\dfrac{AE+BE-\left(AF-CF\right)}{2}=\dfrac{2BE}{2}=BE\)

c/

Ta có \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\left(cmt\right)=\alpha\)

\(\widehat{ACK}=\widehat{AFE}=\alpha\) (góc đồng vị)

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}=\beta\) (góc đối đỉnh)

Xét tg BME có

\(\widehat{AEF}=\alpha=B+\widehat{BME}=B+\beta\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

Xét tg CMF có

\(C=\widehat{AFE}+\widehat{CMF}=\alpha+\beta\Rightarrow\alpha=C-\beta\)

\(\Rightarrow\alpha=C-\beta=B+\beta\Rightarrow\beta=\widehat{BME}=\dfrac{C-B}{2}\)

Xét tứ giác ABDC

\(MB=MC\left(gt\right);MA=MD\left(gt\right)\) => ABDC là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có \(\widehat{A}=90^o\)

=> ABDC là HCN

Ta có

\(AH\perp BC\left(gt\right);DK\perp BC\left(gt\right)\) => AH//DK (cùng vg với BC) (1)

Xét tg vuông ABH và tg vuông DCK có

AB//CD (cạnh đối HCN) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{DCB}\) (góc so le trong)

\(AB=CD\) (cạnh đối HCN)

=> tg ABH = tg DCK (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) \(\Rightarrow AH=DK\) (2)

Từ (1) và (2) => AHDK là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Ta có tg ABH = tg DCK (cmt) \(\Rightarrow BH=CK=a\)

AHDK là hbh (cmt) \(\Rightarrow MH=MK=b\) (đường chéo hbh)

Khi \(AB=2MK\Rightarrow AB=HK\)

Xét tg vuông ABC có

\(AB^2=BH.BC\) (Trong tg vuông bình phương cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow HK^2=BH.BC=BH.\left(BH+MH+MK+CK\right)\)

\(\Rightarrow\left(2a\right)^2=a\left(a+b+b+a\right)=\)

\(=2a\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow4a^2=2a^2+2ab\Leftrightarrow2a^2=2ab\Rightarrow a=b\)

=> BH=MH=MK=CK

a/

Ta có

\(BC\perp DE\left(gt\right)\left(1\right)\Rightarrow DK=EK\) (trong hình tròn, đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung)

AK=CK (gt)

=> BDCE là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh) (2)

Từ (1) Và (2) => BDCE là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/ Nối C với I và C với E

Ta có CE//BD (cạnh đối hình thoi)

Xét (O) có

\(\widehat{BDA}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BD\perp DI\)

Xét (O') có

\(\widehat{AIC}=90^o\)(góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CI\perp DI\)

=> CI//BD

Như vậy CE và CI cùng // với BD \(\Rightarrow CE\equiv CI\) (Từ 1 điểm bên ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho) => E, I, C thẳng hàng 

c/

Ta có

\(DE\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{DKC}=90^o\)

 \(\widehat{AIC}=90^o\left(cmt\right)\)

=> K và I cùng nhìn CD dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => CDKI là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{KID}=\widehat{KCD}\) (góc nt cùng chắn cung KD) (3)

Xét tg vuông CDK và tg vuông CEK có

DK=EK (gt); CK chung => tg CDK = tg CEK (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{KCD}=\widehat{KCE}\) (4)

Xét tg O'IC có

O'I=O'C=r => tg O'IC cân tại O'

\(\Rightarrow\widehat{KCE}=\widehat{O'IC}\) (5)

Từ (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{KID}=\widehat{O'IC}\)

Mà \(\widehat{O'IC}+\widehat{AIO'}=\widehat{AIC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{KID}+\widehat{AIO'}=\widehat{KIO'}=90^o\Rightarrow KI\perp O'I\)

=> KI là tiếp tuyến của (O')

Diện tích trồng cỏ là

\(S=\left(3x+5y-6\right)\left(5x-3y-6\right)=\)

\(=\left(3x+5y\right)\left(3x+5y\right)-6\left(5x+3y\right)-6\left(5x-3y\right)+36=\)

\(=9x^2-25y^2-60x+36\)

\(=9.12^2-25.3^2-60.12+36=387m^2\)

Số tiền trồng cỏ là

\(387.60000=23220000đ\)

a/

\(HD\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\) => HD//AC (cùng vg với AB) => HD//AE

\(HE\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\) => HE//AB (cùng vg với AC) => HE//AD

=> ADHE là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> ADHE là hình chữ nhật

b/

Nếu ADHE là hình vuông => AD = AE

và \(DE\perp AH\) (trong hình vuông 2 đường chéo vuông góc)

Mà \(BC\perp AH\left(gt\right)\)

=> DE//BC (cùng vg với AH)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\Rightarrow\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AE}{AD}=1\Rightarrow AB=AC\)

Dể ADHE là hình vuông thì tg ABC phải là tg vuông cân tại A

c/

Xét tg vuông BDH có

BI=HI (gt) \(\Rightarrow DI=BI=HI=\dfrac{BH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg IDH là tg cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IDH}=\widehat{BHD}\) (1)

Xét tg vuông HEC có

HK=CK(gt) \(\Rightarrow EK=HK=CK=\dfrac{CH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg KCE cân tại K \(\Rightarrow\widehat{KEC}=\widehat{BCA}\) (2)

Do EK=HK (cmt) => tg KHE cân tại K

\(\Rightarrow\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\) (3)

\(\widehat{KEC}+\widehat{KEH}=\widehat{HEC}=90^o\) (4)

\(\widehat{BHD}+\widehat{KHE}=\widehat{BHC}-\widehat{DHE}=180^o-90^o=90^o\) (5)

Từ (1) (2) (3) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{IDH}=\widehat{BHD}=\widehat{KEC}=\widehat{BCA}=\alpha\)

Xét tg IDH có

\(\widehat{BID}=\widehat{IDH}+\widehat{BHD}=2\alpha\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

Xét tg KEC có

\(\widehat{BKE}=\widehat{KEC}+\widehat{BCA}=2\alpha\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\widehat{BID}=\widehat{BKE}=2\alpha\) Hai góc này ở vị trí đồng vị => DI//EK

d/ Gọi O là giao của AH và DE

ADHE là HCN (cmt) => AH = DE (trong HCN 2 đường chéo = nhau)

OA=OH; OD=OE (trong HCN 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

OA+OH=AH; OD+OE=DE

=> OA=OH=OD=OE

=> tg ODH cân tại O \(\Rightarrow\widehat{ODH}=\widehat{OHD}\)

\(\Rightarrow\widehat{IDH}+\widehat{ODH}=\widehat{IDE}=\widehat{BHD}+\widehat{OHD}=\widehat{AHB}=90^o\Rightarrow DE\perp DI\)

Mà DI//EK (cmt)

\(\Rightarrow DE\perp EK\)

Đk: \(x\ge0\)

Đặt \(t=\sqrt{x}\Rightarrow t\ge0\)

\(\Rightarrow t^2-3t+2< 0\) (1)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t< 1\\t>2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}< 1\\\sqrt{x}>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>4\end{matrix}\right.\)

Kết hợp đk \(x\ge0\Rightarrow BPT\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x< 1\\x>4\end{matrix}\right.\) 

a/

A và B cùng nhìn MO dưới 2 góc \(=90^o\) nên A và B cùng nawmg trên đường tròn đường kính MO => A; O; B; M cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông AOM và tg vuông BOM có

MA=MB (2 tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm bên ngoài hình tròn....)

MO chung

=> tg AOM = tg BOM (2 tg vuông có cạnh hguyeenf và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=\dfrac{\widehat{AMB}}{2}=\dfrac{40^o}{2}=20^o\)

Xét tg vuông AOM

\(\widehat{AOM}=90^o-\widehat{AMO}=90^o-20^o=70^o\)

c/

tg AOM = tg BOM (cmt) \(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=70^o\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=70^o+70^o=140^o\)

\(sđ\widehat{AOM}=sđcungABnho=140^o\) (góc ở tâm) 

\(\Rightarrow sđcungABlon=360^o-sđcungABnho=360^o-140^o=220^o\)

\(B=\dfrac{5\left(2n-5\right)+22}{2\left(2n-5\right)}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{11}{2n-5}\)

B lớn nhất khi \(\dfrac{11}{2n-5}\) lớn nhất và \(\dfrac{11}{2n-5}>0\)

\(\Rightarrow2n-5>0\) và \(2n-5\) nhỏ nhất \(\Rightarrow2n-5=1\Leftrightarrow n=3\)

Từ B dựng đường thẳng //MN cắt AC tại P

Xét tg BCD có

BN=DN (gt); MN//BP => DM=PM (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) (1)

DM+AD=AM=CM=PM+CP (2)

Từ (1) và (2) => AD=CP 

=> AD+DP=AP=CP+DP=CD=AB => tg ABP cân tại A

Xét tg cân ABP có

\(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\Rightarrow AK\perp BP\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Mà MN//BP \(\Rightarrow AK\perp MN\)

Gọi H là giao của B1B2 với C1C2

Xét tg ABM có

AC1=BC1; MB2=BB2 => B2C1 là đường trung bình của tg ABM

=> B2C1//AM và B2C1=AM/2 (1)

Xét tg ACM có

AB1=CB1; CC2=MC2 => B1C2 là đường trung bình của tg ACM

=> B1C2//AM và B1C2=AM/2 (2)

Từ (1) và (2) => B2C1//B1C2 (cùng // với AM) và B2C1=B1C2=AM/2

=> B1C1B2C2 là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

=> H là trung điểm của B1B2 và C1C2 (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Gọi H' là giao của A1A2 với C1C2

C/m tương tự khi xét tg ABM và tg BCM ta cũng có

A1C1A2C2 là hbh => H' là trung điểm của A1A2 và C1C2 (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà H cũng là trung điểm của C1C2 (cmt)

\(\Rightarrow H\equiv H'\) => A1A2; B1B2; C1C2 đồng quy