a/

\(HD\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow AE\perp AB\)

=> HD//AE (cùng vg với AB)

\(HE\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow AD\perp AC\)

=> HE//AD (cùng vg với AC)

=> ADHE là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi 1 là hbh)

\(\widehat{A}=90^o\left(gt\right)\)

=> ADHE là HCN 

b/

Xét tg vuông ADH có

\(HD=\sqrt{AH^2-AD^2}\left(Pitago\right)\)

\(HD=\sqrt{5^2-4^2}=3cm\)

\(\Rightarrow S_{ADHE}=AD.HD=4.3=12cm^2\)

c/

Xét tứ giác BKIH có

\(BD=ID\left(gt\right);KD=HD\left(gt\right)\)

=> BKIH là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hhbh)

=> KI//BH (cạnh đối hbh) => KI//BC mà \(AH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow KI\perp AH\)

\(HD\perp AB\Rightarrow AD\perp HK\)

=> I là trực tâm của tg AKH \(\Rightarrow AK\perp HI\) (Trong tg 3 đường cao đồng quy

a/

\(HM\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HM//AC (cùng vg với AB)

=> HM//NA (1)

\(HN\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => HN//AB (cùng vg với AC)

=> HN//MA (2)

Từ (1) và (2) => AMHN là hình bình hành (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là hình chữ nhật => AH=MN (Trong HCN 2 đường chéo bằng nhau)

b/

Xét \(\Delta AHP\)

\(NA=NP\left(gt\right)\)

\(OA=OH\) (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> ON là đường trung bình của \(\Delta AHP\) => ON//HP => MN//HP

Xét tứ giác HMNP có

MN//HP (cmt)

HM//AC (cmt) => HM//PN

=> HMNP là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(\Rightarrow IH=IN\) (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Nối I với O và I với J

Xét \(\Delta AHN\)

\(OA=OH\left(cmt\right);IH=IN\left(cmt\right)\) => IO là đường trung bình của \(\Delta AHN\)

=> IO//AN => IO//AC

Xét \(\Delta CHN\)

\(IH=IN\left(cmt\right);JH=JC\left(gt\right)\) => IJ là đường tb của \(\Delta CHN\)

=> IJ//CN => IJ//AC

Như vậy IO và IJ cùng song song với AC \(\Rightarrow IO\equiv IJ\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

=> O; I; J thẳng hàng

\(\dfrac{x^3+ax^2+bx+c}{x^3-3x^2+3x-1}\)

\(\Rightarrow a=-3;b=3;c=-1\)

\(S_{ABM}=\dfrac{1}{2}xMQxAB=\dfrac{1}{2}MQxAC\)

\(S_{ACM}=\dfrac{1}{2}xMKxAC\)

\(\Rightarrow S_{ABM}+S_{ACM}=\dfrac{1}{2}xACx\left(MQ+MK\right)=S_{ABC}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}xACxBH\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}xACx\left(MQ+MK\right)=\dfrac{1}{2}xACxBH\)

\(\Rightarrow MQ+MK=BH=25cm\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

a/

\(\widehat{ACD}=90^o\) (Góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AC\perp DC\)

b/

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc nt)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

Xét tg vuông AHB và tg vuông ACD có

\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\left(cmt\right)\)

=> tg AHB đồng dạng với tg ACD

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AB.AC=AH.AD\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\) (T/c dãy tỷ số = nhau)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}\) (T/c dãy tỷ số = nhau)

\(\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

a/

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta CDM\)

\(MB=MC\left(gt\right);MA=MD\left(gt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\) (Góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta BMA=\Delta CDM\left(c.g.c\right)\) 

b/

Xét tứ giác ABDC

\(MB=MC\left(gt\right)MA=MD\left(gt\right)\) => ABDC là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AB//DC (cạnh đối hbh)

c/

\(BE\perp AM\Rightarrow BE\perp AD\)

\(CF\perp DM\Rightarrow CF\perp AD\)

=> BE//CF (cùng vg với AD)

Xét \(\Delta BME\) và \(\Delta CMF\)

BE//CF (cmt) \(\Rightarrow\widehat{MBE}=\widehat{MCF}\) (góc so le trong)

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (Góc đối đỉnh)

\(MB=MC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BME=\Delta CMF\left(g.c.g\right)\Rightarrow ME=MF\)

Khi quên dấu phẩy ta được số mới gấp 100 lần số thập phân ban đầu

nên tổng tăng thêm bằng 99 lần số thập phân ban đầu

99 lần số thập phân ban đầu là

1996-733,75=1262,25

Số tập phân ban đầu là

1262,25:99=12,75

Số nguyên là

733,75-12,75=721

a/

Gọi \(d=UC\left(n-1;n-2\right)\Rightarrow n-1⋮d;n-2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)-\left(n-2\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{n-1}{n-2}\) là phân số tối giản

b/

Gọi \(d=UC\left(2n+3;3n+4\right)\) nên

\(2n+3⋮d\Rightarrow3\left(2n+3\right)=6n+9⋮d\)

\(3n+4⋮d\Rightarrow2\left(3n+4\right)=6n+8⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+9\right)-\left(6n+8\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{3n+4}\) là phân số tối giản