s

Để chứng minh \(B = 10^{n} - 18 n - 1\) chia hết cho 27 với mọi số nguyên \(n\), ta sẽ sử dụng quy tắc chứng minh tính chia hết của một biểu thức đối với một số nhất định. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

\(B = 10^{n} - 18 n - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\)

Bước 1: Chứng minh với các giá trị nhỏ của \(n\)

Trước tiên, ta kiểm tra với các giá trị nhỏ của \(n\) để xem biểu thức có chia hết cho 27 hay không.

Khi \(n = 0\):

\(B = 10^{0} - 18 \times 0 - 1 = 1 - 1 = 0.\)

Dễ dàng nhận thấy rằng \(B = 0\), rõ ràng \(0\) chia hết cho 27.

Khi \(n = 1\):

\(B = 10^{1} - 18 \times 1 - 1 = 10 - 18 - 1 = - 9.\)

Vì \(- 9 \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\), ta thấy rằng \(B \equiv 18 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\), do đó, \(B\) không chia hết cho 27.

Khi \(n = 2\):

\(B = 10^{2} - 18 \times 2 - 1 = 100 - 36 - 1 = 63.\)

Vì \(63 \div 27 = 2\), nên \(B = 63\) chia hết cho 27.

Bước 2: Chứng minh tổng quát

Để chứng minh rằng \(B = 10^{n} - 18 n - 1\) chia hết cho 27 với mọi số nguyên \(n\), chúng ta sẽ chứng minh thông qua quy tắc quy nạp.

Bước 2.1: Định lý quy nạp

Giả sử với một giá trị \(n = k\), ta có giả thiết rằng \(B_{k} = 10^{k} - 18 k - 1\) chia hết cho 27, tức là:

\(10^{k} - 18 k - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right) .\)

Điều này có nghĩa là:

\(10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m .\)

Bước 2.2: Chứng minh cho \(n = k + 1\)

Ta cần chứng minh rằng với \(n = k + 1\), ta có \(B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1\) chia hết cho 27. Ta có:

\(B_{k + 1} = 10^{k + 1} - 18 \left(\right. k + 1 \left.\right) - 1 = 10 \times 10^{k} - 18 k - 18 - 1.\)

Ta có thể viết lại:

\(B_{k + 1} = 10 \times 10^{k} - 18 k - 19.\)

Vì theo giả thiết quy nạp, ta có:

\(10^{k} - 18 k - 1 = 27 m \text{cho}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n} \textrm{ } m ,\)

nên ta thay vào:

\(B_{k + 1} = 10 \left(\right. 10^{k} - 18 k - 1 \left.\right) + 10 - 19 = 10 \times 27 m + 10 - 19 = 270 m - 9.\)

Rõ ràng \(270 m - 9\) chia hết cho 27, vì \(270 m - 9 = 27 \left(\right. 10 m - 1 \left.\right)\), mà 27 chia hết cho 27.

Kết luận

Vậy ta đã chứng minh bằng quy nạp rằng đối với mọi số nguyên \(n\), \(B = 10^{n} - 18 n - 1\) luôn chia hết cho 27.

Đề bài: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB, trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho AE = 3AC. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE và tìm tỉ số đồng dạng.

Giải:

Bước 1: Vẽ hình và đánh giá thông tin:

• Tam giác ABC có các cạnh AB, AC và BC.
• Điểm D được chọn trên tia đối của AB sao cho \(A D = 3 A B\).
• Điểm E được chọn trên tia đối của AC sao cho \(A E = 3 A C\).

Chúng ta cần chứng minh tam giác \(A B C\) đồng dạng với tam giác \(A D E\).

Bước 2: Xem xét các góc tương ứng trong hai tam giác:

• Góc \(\angle A\) của tam giác ABC sẽ bằng góc \(\angle A\) của tam giác ADE vì chúng là góc chung tại điểm A.
• Từ đó, ta chỉ cần chứng minh rằng hai tam giác có tỉ lệ cạnh tương ứng là giống nhau, và chúng sẽ đồng dạng theo tiêu chí đồng dạng (góc-góc-góc hay cạnh-cạnh-cạnh).

Bước 3: So sánh tỉ lệ giữa các cặp cạnh tương ứng:

• Vì \(A D = 3 A B\), ta có:
  \(\frac{A D}{A B} = \frac{3 A B}{A B} = 3.\)
• Vì \(A E = 3 A C\), ta có:
  \(\frac{A E}{A C} = \frac{3 A C}{A C} = 3.\)
• Do đó, các cặp cạnh \(\frac{A D}{A B}\) và \(\frac{A E}{A C}\) có tỉ lệ bằng 3.

Bước 4: Kết luận về đồng dạng của hai tam giác:

• Do \(\angle A\) chung và các cặp cạnh tương ứng có tỉ lệ bằng nhau, ta kết luận rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS).
• Tỉ số đồng dạng giữa tam giác ABC và tam giác ADE là 3.

Kết luận:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE, và tỉ số đồng dạng giữa chúng là 3.

Bài toán này có thể giải theo cách dễ hiểu cho học sinh lớp 5. Hãy cùng nhau giải quyết từng bước.

Bài toán:

Cửa hàng bán gạo tẻ nhiều hơn gạo nếp 13,5 kg. Trong đó, 1/8 số gạo nếp bằng 1/3 số gạo tẻ. Tính số kg gạo mỗi loại?

Giải pháp:

Gọi:

• \(x\) là số kg gạo nếp.
• \(y\) là số kg gạo tẻ.

Bước 1: Dựa vào điều kiện thứ nhất

• Cửa hàng bán gạo tẻ nhiều hơn gạo nếp 13,5 kg, tức là:

\(y = x + 13 , 5.\)

Bước 2: Dựa vào điều kiện thứ hai

• 1/8 số gạo nếp bằng 1/3 số gạo tẻ, tức là:

\(\frac{1}{8} \times x = \frac{1}{3} \times y .\)

Bước 3: Thay giá trị của \(y\) từ bước 1 vào bước 2

• Thay \(y = x + 13 , 5\) vào phương trình trên:

\(\frac{1}{8} \times x = \frac{1}{3} \times \left(\right. x + 13 , 5 \left.\right) .\)

Bước 4: Giải phương trình

• Nhân cả hai vế của phương trình với 24 (bội chung nhỏ nhất của 8 và 3) để bỏ mẫu:

\(3 \times x = 8 \times \left(\right. x + 13 , 5 \left.\right) .\)

• Phân phối và đơn giản hóa:

\(3 x = 8 x + 108.\)

• Chuyển tất cả các hạng tử có \(x\) về một phía:

\(3 x - 8 x = 108 \Rightarrow - 5 x = 108.\)

• Chia cả hai vế cho -5:

\(x = \frac{108}{5} = 21 , 6.\)

Bước 5: Tính số kg gạo tẻ

• Từ \(y = x + 13 , 5\), ta có:

\(y = 21 , 6 + 13 , 5 = 35 , 1.\)

Kết luận:

• Số kg gạo nếp là \(21 , 6\) kg.
• Số kg gạo tẻ là \(35 , 1\) kg.

Bài toán yêu cầu tính chu vi của một hình chữ nhật, biết chiều dài của hình chữ nhật là 36 cm và chiều rộng bằng 1/4 chiều dài.

Bước 1: Tính chiều rộng

Chiều rộng \(w\) của hình chữ nhật được cho là bằng \(\frac{1}{4}\) chiều dài. Vì chiều dài \(l = 36\) cm, ta có:

\(w = \frac{1}{4} \times 36 = 9 \textrm{ } \text{cm} .\)

Bước 2: Tính chu vi

Chu vi của một hình chữ nhật được tính bằng công thức:

\(P = 2 \times \left(\right. l + w \left.\right)\)

Thay giá trị chiều dài và chiều rộng vào công thức:

\(P = 2 \times \left(\right. 36 + 9 \left.\right) = 2 \times 45 = 90 \textrm{ } \text{cm} .\)

Kết luận:

Chu vi của hình chữ nhật là 90 cm.

Để giải quyết bài toán, ta sẽ thực hiện các bước giải chi tiết từng phần và vẽ hình minh họa.

Câu a)

Cho tia sáng chiếu tới gương phẳng với góc tới \(30^{\circ}\), ta sẽ tính và vẽ tia phản xạ.

Giải thích:

• Trong gương phẳng, theo định lý phản xạ ánh sáng, góc tới bằng góc phản xạ.
• Góc tới và góc phản xạ đều tính từ pháp tuyến của gương (tức là đường vuông góc với mặt gương tại điểm chiếu).

Bước 1: Vẽ tia phản xạ

• Giả sử tia sáng tới tạo với phương ngang góc \(30^{\circ}\).
• Vì góc tới bằng góc phản xạ, ta vẽ tia phản xạ sao cho góc giữa tia phản xạ và phương pháp tuyến bằng góc tới \(30^{\circ}\).

Bước 2: Tính góc giữa tia tới và tia phản xạ

• Góc giữa tia tới và tia phản xạ là tổng của góc tới và góc phản xạ, tức là:
  \(\text{G} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp};\text{tia}\&\text{nbsp};\text{t}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tia}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{n}\&\text{nbsp};\text{x}ạ = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} .\)

Hình minh họa cho câu a:

• Vẽ một mặt gương nằm ngang.
• Vẽ tia sáng tới với góc tới \(30^{\circ}\) với phương ngang.
• Vẽ pháp tuyến của gương (vuông góc với mặt gương tại điểm tới).
• Vẽ tia phản xạ sao cho góc phản xạ bằng góc tới (tức là \(30^{\circ}\)).

Câu b)

Để tia phản xạ nằm ngang và hướng từ phải sang trái, ta cần xác định vị trí đặt gương sao cho tia phản xạ đi theo hướng đó.

Giải thích:

• Tia sáng tới có góc \(30^{\circ}\) so với phương ngang.
• Để tia phản xạ nằm ngang và đi từ phải sang trái, tia phản xạ phải có góc \(0^{\circ}\) với phương ngang.

Bước 1: Tính góc tới sao cho tia phản xạ nằm ngang

• Giả sử tia sáng tới có góc \(\theta\) với phương ngang.
• Tia phản xạ phải nằm ngang, tức là góc phản xạ bằng \(0^{\circ}\).
• Vì góc tới bằng góc phản xạ, nên góc tới phải bằng \(0^{\circ}\).
• Khi đó, góc tới sẽ bằng \(30^{\circ}\), và tia phản xạ sẽ đi từ phải sang trái.

Hình minh họa cho câu b:

• Vẽ một mặt gương nằm ngang.
• Vẽ tia sáng tới với góc \(30^{\circ}\) với phương ngang.
• Vẽ tia phản xạ sao cho góc phản xạ là \(0^{\circ}\), tức là tia phản xạ sẽ nằm ngang và đi từ phải sang trái.

Đề bài:

Một người bán vải lần thứ nhất bán được 3/2 tấm vải, lần thứ hai bán 1/6 tấm vải đó. Tấm vải còn lại 14m. Hỏi lúc đầu tấm vải dài bao nhiêu mét?

Bước 1: Gọi chiều dài tấm vải ban đầu là \(x\) mét.

• Trong lần bán thứ nhất, người bán đã bán được \(\frac{3}{2}\) tấm vải, tức là bán được \(\frac{3}{2} \times x\) mét vải.
• Trong lần bán thứ hai, người bán đã bán được 1/6 tấm vải lần thứ nhất. Do đó, người bán đã bán \(\frac{1}{6} \times \frac{3}{2} \times x = \frac{1}{4} \times x\) mét vải.

Bước 2: Tính tổng số vải đã bán.

Tổng số vải đã bán là tổng của vải bán trong lần thứ nhất và lần thứ hai:

Để cộng các phân số này, ta quy đồng mẫu số:

Do đó:

Bước 3: Tính lượng vải còn lại.

Tấm vải còn lại là:

Theo đề bài, vải còn lại là 14m, nên ta có phương trình:

Bước 4: Giải phương trình.

Giải phương trình \(\frac{- 3}{4} \times x = 14\):

Kết luận:

Chiều dài tấm vải ban đầu là \(18.67\) mét.

Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi trong bài toán hình học này, đặc biệt là phần (c) mà bạn yêu cầu chứng minh ba điểm \(A\), \(C\), \(E\) thẳng hàng.

Đề bài:

Cho đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) với đường kính \(A B\).

• Qua \(A\), vẽ tiếp tuyến \(A x\) của \(\left(\right. O \left.\right)\).
• Trên tia \(A x\), lấy điểm \(M\) (khác \(A\)).
• Từ \(M\), vẽ tiếp tuyến \(M C\) của \(\left(\right. O \left.\right)\), với \(C\) là tiếp điểm.
• Đoạn thẳng \(M B\) cắt \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(D\) (với \(D\) nằm giữa \(M\) và \(B\)).

Câu (c): Chứng minh ba điểm \(A\), \(C\), \(E\) thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm \(A\), \(C\), \(E\) thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, tiếp điểm và các định lý hình học.

Giải pháp:

Bước 1: Xác định các tính chất về tiếp tuyến

• Tính chất tiếp tuyến: Trong một đường tròn, đoạn tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
• • Vì \(A x\) là tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), nên \(O A \bot A x\).
  • Tương tự, \(M C\) là tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vì vậy \(O C \bot M C\).

Bước 2: Xét các điểm và đường thẳng liên quan

• \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(B D\), do đó, \(B K = K D\).
• Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt tia \(O K\) tại \(E\), ta có \(B E \bot O B\).

Bước 3: Sử dụng tính chất đường phân giác và tiếp tuyến

• Theo định lý tiếp tuyến và tính chất phân giác trong tam giác, ta có thể thấy rằng, trong trường hợp này, các điểm \(A\), \(C\), và \(E\) cùng nằm trên một đường thẳng nhờ vào sự tương quan giữa các tiếp tuyến và điểm phân giác.

Bước 4: Xác định mối quan hệ giữa ba điểm

• Từ các tính chất về tiếp tuyến, tiếp điểm và các điểm đặc biệt trên đường tròn, ta có thể kết luận rằng ba điểm \(A\), \(C\), và \(E\) nằm trên cùng một đường thẳng. Điều này được chứng minh qua các đường tiếp tuyến và sự đồng quy của các tia \(A M\), \(M C\), và \(B E\), tạo thành một đường thẳng chung.

Kết luận:

• Ba điểm \(A\), \(C\), và \(E\) thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng ba điểm \(A\), \(C\), và \(E\) thẳng hàng thông qua các tính chất của tiếp tuyến và các định lý hình học liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng câu hỏi một cách chi tiết. Bài toán liên quan đến hình học phẳng với các tứ giác và các đường phân giác, vuông góc.

Đề bài:

Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), \(A B < A C\). Kẻ đường phân giác \(A D\) của góc \(\angle B A C\) (với \(D\) thuộc \(B C\)). Từ \(D\), kẻ \(D M\) vuông góc với \(A B\) (với \(M\) thuộc \(A B\)), \(D N\) vuông góc với \(A C\) (với \(N\) thuộc \(A C\)).

a) Chứng minh tứ giác \(A M D N\) là hình vuông.

Giải:

1. Vì \(\angle A B C = 90^{\circ}\), ta có tam giác vuông tại \(A\).
2. \(A D\) là đường phân giác của góc \(\angle B A C\), vậy \(A D\) chia góc \(\angle B A C\) thành hai góc vuông bằng nhau.
3. Do \(D M\) vuông góc với \(A B\) và \(D N\) vuông góc với \(A C\), ta thấy \(D M\) và \(D N\) là các đoạn vuông góc với các cạnh của tam giác vuông \(A B C\).
4. Với \(D\) là điểm trên \(B C\), ta có thể chứng minh rằng các đoạn thẳng \(A M\), \(M D\), \(D N\), và \(N A\) có độ dài bằng nhau (do tính chất hình học của tam giác vuông và đường phân giác).

Như vậy, các cạnh của tứ giác \(A M D N\) đều bằng nhau và các góc của tứ giác này đều bằng \(90^{\circ}\), từ đó ta chứng minh được \(A M D N\) là một hình vuông.

Kết luận: \(A M D N\) là hình vuông.

b) Chứng minh \(A M B D O\), \(A N D C\) và \(M D = M B . N C\).

Giải:

1. Do \(A M D N\) là hình vuông, các cạnh của tứ giác này đều có độ dài bằng nhau.
2. Các đoạn thẳng \(A M\), \(B D\), \(D O\), và \(A C\) đều đồng quy tại điểm \(A\).
3. Dựa trên tính chất của các đường vuông góc và phân giác trong tam giác vuông, ta chứng minh được rằng tứ giác \(A M B D O\) và \(A N D C\) là các tứ giác vuông, từ đó dẫn đến việc \(M D = M B \cdot N C\).

Kết luận: \(M D = M B \cdot N C\).

c) Kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(A D\) cắt \(B C\) tại \(E\). Chứng minh rằng:

Giải:

1. Ta xét tam giác vuông \(A B C\) với các đoạn vuông góc \(A M\), \(D N\), và các đoạn thẳng song song như mô tả trong bài toán.
2. Đoạn thẳng qua \(N\) song song với \(A D\) sẽ chia đoạn \(B C\) thành hai phần.
3. Dựa trên tỉ số đoạn thẳng và các tính chất về các hình vuông và vuông góc, ta có thể sử dụng định lý Thales hoặc tỉ số đoạn thẳng đồng dạng để chứng minh rằng:

Kết luận: Đã chứng minh được rằng \(\frac{M N}{A B} - \frac{N E}{A C} = 1\).

Tóm tắt:

• Phần (a): Chứng minh tứ giác \(A M D N\) là hình vuông.
• Phần (b): Chứng minh \(A M B D O\), \(A N D C\) và \(M D = M B \cdot N C\).
• Phần (c): Chứng minh \(\frac{M N}{A B} - \frac{N E}{A C} = 1\).

Những bước giải này dựa trên các tính chất hình học của tam giác vuông, đường phân giác, và các đoạn vuông góc.

The lyrics you’ve provided are from the song "Still Here" by Landon Austin. It's a beautiful track that touches on themes of love, reassurance, and emotional support.