Xét △ABC có 2 đg trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của △ABC

⇒GM=\(\dfrac{GB}{2}\);GN=\(\dfrac{GC}{2}\) ( t/c của trọng tâm △ ) (1)

mà P là  trung điểm của GB nên GP=PB=\(\dfrac{GB}{2}\) (2)

Q là trung điểm của GC nên GQ=QC=\(\dfrac{GC}{2}\) (3)

Từ (1);(2) và (3) ⇒Gm=GP và Gn=GQ ( cmt )

⇒ tứ giác PQMN có 2 đg chéo MP và NQ cắt nhau tại G của mỗi đường nên là hbh

có ABCD là hbh nên 

⇒ AD=BC

mà E;F là trung điểm của AD và BC

⇒AE=DE=BF=CF

tứ giác EBFD có 
BF//ED (BC//AD)

BF=ED ( cmt )

⇒ EBFD là hbh

b, từ O là giao điểm của 2 đg chéo của hbh ABCD  hay giao điểm cuẩC và BD

⇒ O là trung điểm của BD

⇒ O cũng là trung điểm của EF 

⇒ 3 điểm F;O;E thg hàng 

vì ABCD là hình bình hành nên 

⇒ AB=CD ; AB//CD

mà 2 điểm B,C là trung điểm mỗi đường 

⇒ AE=DF; AB=BE=CD=CF

⇒ tứ giác ABFC là hình bình hành 

b, vì hình bình hành AEFD  có 2 đường chéo AF và DE  nên chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đg 

và ta goi điểm giao đó là O

hình bình hành  AEFD có 2 đg chéo là AF và BC 

mà O là trung điểm của AF

⇒ O cũng là trung điểm của BC 

⇒ các đoạn thăng AF ; DE và BC trùng nhau tại trung điểm của mỗi đg

    có ABCD là hbh nên 

⇒  AD // BC ; AD=BC   

⇒  D₁ = B₁  ( so le trong) 

Xét  △AHD  và  △CKB 

    AD=BC ( cmt )

    D₁=B₁  ( cmt ) 

     AHD=CKB=90^o

 ⇒ △AHD=△CKB ( ch - gn ) 

 ⇒  AH=CK 

Mặt khác có  AH  và  CK  cùng vg góc với BD nên AH // CK

 Có  AH//CK

       AH=CK

 ⇒  AHCK là hình bình hành

b,   vì  AHCK là  hình bình hành nên 

      ⇒ HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

           mà I là trung điểm  của  HK

      ⇒   I là trung điểm của AC 

          Có ABCD là hình bình hành nên 
      ⇒  2  đường chéo cắt nhau  tại trung điểm mỗi đường 

      ⇒  I là trung điểm  của BD 

      ⇒  IB=ID

    có ABCD là hbh nên 

⇒  AD // BC ; AD=BC   

⇒  D₁ = B₁  ( so le trong) 

Xét  △AHD  và  △CKB 

    AD=BC ( cmt )

    D₁=B₁  ( cmt ) 

     AHD=CKB=90^o

 ⇒ △AHD=△CKB ( ch - gn ) 

 ⇒  AH=CK 

Mặt khác có  AH  và  CK  cùng vg góc với BD nên AH // CK

 Có  AH//CK

       AH=CK

 ⇒  AHCK là hình bình hành

b,   vì  AHCK là  hình bình hành nên 

      ⇒ HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

           mà I là trung điểm  của  HK

      ⇒   I là trung điểm của AC 

          Có ABCD là hình bình hành nên 
      ⇒  2  đường chéo cắt nhau  tại trung điểm mỗi đường 

      ⇒  I là trung điểm  của BD 

      ⇒  IB=ID

    có ABCD là hbh nên 

⇒  AD // BC ; AD=BC   

⇒  D₁ = B₁  ( so le trong) 

Xét  △AHD  và  △CKB 

    AD=BC ( cmt )

    D₁=B₁  ( cmt ) 

     AHD=CKB=90^o

 ⇒ △AHD=△CKB ( ch - gn ) 

 ⇒  AH=CK 

Mặt khác có  AH  và  CK  cùng vg góc với BD nên AH // CK

 Có  AH//CK

       AH=CK

 ⇒  AHCK là hình bình hành

b,   vì  AHCK là  hình bình hành nên 

      ⇒ HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

           mà I là trung điểm  của  HK

      ⇒   I là trung điểm của AC 

          Có ABCD là hình bình hành nên 
      ⇒  2  đường chéo cắt nhau  tại trung điểm mỗi đường 

      ⇒  I là trung điểm  của BD 

      ⇒  IB=ID

    có ABCD là hbh nên 

⇒  AD // BC ; AD=BC   

⇒  D₁ = B₁  ( so le trong) 

Xét  △AHD  và  △CKB 

    AD=BC ( cmt )

    D₁=B₁  ( cmt ) 

     AHD=CKB=90^o

 ⇒ △AHD=△CKB ( ch - gn ) 

 ⇒  AH=CK 

Mặt khác có  AH  và  CK  cùng vg góc với BD nên AH // CK

 Có  AH//CK

       AH=CK

 ⇒  AHCK là hình bình hành

b,   vì  AHCK là  hình bình hành nên 

      ⇒ HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

           mà I là trung điểm  của  HK

      ⇒   I là trung điểm của AC 

          Có ABCD là hình bình hành nên 
      ⇒  2  đường chéo cắt nhau  tại trung điểm mỗi đường 

      ⇒  I là trung điểm  của BD 

      ⇒  IB=ID

Xét △OAM và △OCN

    OA=OC ( gt )

    O₁₌O_{2    ( đđ )}

     _{MAO=OCN ( so le trong )}

⇒ △OAM=△OCN ( gcg )

⇒OM=ON

có OM=OM ( cmt )

      OD=OB ( gt )

 ⇒  tứ giác  MBND là hình bình hành 

a,  +,  có  AE=\(\dfrac{1}{2}\)AB  ( E là trung điểm của AB )

         DF=\(\dfrac{1}{2}\)DC  ( F là trung điểm của DC ) 

         \(\Rightarrow\) AE=DF    

          +, xét △ADF và △AFE :

                 AE=DF ( cmt ) 

                AFD=EAF ( so le trong )

                 AF  chung 

        ⇒ △ADF=AFE ( cgc )

        ⇒  AD=EF 

       +,  Có  AE=DF  ( cmt )

                AD=EF  ( cmt ) 

         ⇒ Tứ  giác  AEDF là hình bình hành

          +,  có DF=FC 

             mà AE=DF 

           ⇒  AE=CF

           Xét  △AEF và △EFC

                   AE=FC (cmt )

                   AEF=EFC ( so le trong )

                    EF chung

           ⇒  △AEF=△EFC ( cgc )

           ⇒  AF=EC

           Có  AE=FC ( cmt )

                 AF=EC ( cmt )

            ⇒ tứ giác AECF là hình bình hành

b,     vì AEDF là hình bình hành

            ⇒  AD=EF  ( t/c của hình bình hành )

         vì AECF là hình bình hành

            ⇒  AF=EC ( t/c của hình bình hành )