\(D=\left[0;2\right]\)

Có \(f'\left(x\right)=\dfrac{-x+1}{\sqrt{2x-x^2}},\forall x\in\left(0;2\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(0;1\right)\) và nghịch biến trên \(\left(1;2\right)\)

 Xét S là tổng của nghịch đảo tất cả các số trên bảng.

 Do \(c=\dfrac{a\times b}{a+b}\) nên \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b}{a\times b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)

 Vì vậy, khi xóa 2 số \(a,b\) và thay bằng số c thì S không đổi.

 Khi đó, nếu số còn lại trên bảng là \(x\) thì \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}\) \(=\dfrac{7129}{2520}\) hay \(x=\dfrac{2520}{7129}\)

 Vậy số còn lại trên bảng là \(\dfrac{2520}{7129}\)

 Cho \(p=2,p=3\) ta thấy không thỏa mãn.

 Cho \(p=5\) ta thấy thỏa mãn.

 Xét \(p>5\), khi đó \(p⋮̸5\). Khi đó \(p^2\equiv1,4\left[5\right]\) (tính chất của scp)

 Khi \(p^2\equiv1\left[5\right]\) thì \(p^2+1⋮5\), khi \(p^2\equiv4\left[5\right]\) thì \(p^2+6⋮5\) nên 1 trong 2 số này là hợp số, không thỏa mãn.

 Vậy \(p=5\) là snt duy nhất thỏa mãn ycbt.

a) Vì \(p\) là snt lớn hơn 3 nên \(p⋮̸3\) \(\Rightarrow p^2\equiv1\left[3\right]\) hay \(p^2-1⋮3\)

b) Theo câu a), ta có \(p^2\equiv q^2\equiv1\left[3\right]\) nên \(p^2-q^2⋮3\)

c) Vì \(p,q\) là các snt lớn hơn 3 nên chúng cũng là các snt lẻ \(\Rightarrow p^2\equiv q^2\equiv1\left[8\right]\)

\(\Rightarrow p^2-q^2⋮8\)

\(n^2+1⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow\exists k\inℕ^∗:n^2+1=k\left(2n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2-2kn+1-k=0\)

Có \(\Delta'=\left(-k^2\right)-\left(1-k\right)=k^2+k-1\)

Vì \(n\inℕ^∗\)nên \(\Delta'\) phải là số chính phương 

\(\Leftrightarrow\exists l\inℕ^∗:k^2+k-1=l^2\)

\(\Leftrightarrow4k^2+4k-4=4l^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4k^2+4k+1\right)-4l^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2-\left(2l\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(2k+2l+1\right)\left(2k-2l+1\right)=5\)

 Vì \(k,l\inℕ^∗\) và \(2k+2l+1>2k-2l+1>0\) nên ta chỉ có 1 TH duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}2k+2l+1=5\\2k-2l+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow k=l=1\)

 Khi đó \(n^2+1=2n+1\) 

 \(\Leftrightarrow n^2=2n\)

 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\left(loại\right)\\n=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

 Vậy \(n=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn ycbt.

\(y=\dfrac{x^2-3x+2}{x+1}\)

Có \(y'=\dfrac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{x^2+2x+1-6}{\left(x+1\right)^2}=1-\dfrac{6}{\left(x+1\right)^2}\)

Pttt tại \(M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\) của (C) là:

\(d=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\)

Vì \(d//d':y=-5x-2\) nên \(f'\left(x_0\right)=-5\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{6}{\left(x_0+1\right)^2}=-5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{\left(x_0+1\right)^2}=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_0+1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=-2\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x_0=0\) thì pttt là \(\left(d\right):y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)\) 

\(\Leftrightarrow y=-5x+2\)

Nếu \(x_0=-2\) thì pttt là \(\left(d\right):y=f'\left(-2\right)\left(x+2\right)+f\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow y=-5\left(x+2\right)-12\) \(=-5x-22\)

Vậy có 2 tt là \(\left(d_1\right):y=-5x+2\) và \(\left(d_2\right):y=-5x-22\)

Gọi \(\left(d'\right):x+2y-3=0\) \(\Rightarrow\) VTPT \(\overrightarrow{n_{d'}}=\left(1;2\right)\) 

Gọi \(d\) là tiếp tuyến cần tìm \(\Rightarrow\) VTPT \(\overrightarrow{n_d}=\left(-2;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(d\right):-2x+y+c=0\) \(\left(c\inℝ\right)\)

\(\Leftrightarrow y=2x-c\)

Có \(y'=4x^3-2x\). Khi đó cho \(y'\left(x_0\right)=4x_0^3-2x_0=2\)

\(\Leftrightarrow2x_0^3-x_0-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(2x_0^2+2x_0+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=1\\2x_0^2+2x_0+1=0\left(vôlý\right)\end{matrix}\right.\)

 Khi đó pttt cần tìm là \(\left(d\right):y=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow y=2\left(x-1\right)+3\)

\(\Leftrightarrow y=2x+1\)

Tập xác định \(D=ℝ\backslash\left\{2\right\}\)

TCĐ: \(x=2\)

Có \(\dfrac{x^2-x-1}{x-2}=\dfrac{x^2-x-2+1}{x-2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)+1}{x-2}=\left(x+1\right)+\dfrac{1}{x-2}\)

nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường \(y=x+1\)

Có \(y'=\dfrac{x^2-4x+3}{\left(x-2\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

BBT

\(f'\left(x0\right)\) là gì thế bạn?

đk: \(0\le x,y\le2\)

Ta có \(x^2+y^2=4\Rightarrow y=\sqrt{4-x^2}\left(y\ge0\right)\)

Do đó \(M=2x+y=\sqrt{4x^2}+\sqrt{4-x^2}\)

\(\ge\sqrt{4x^2+4-x^2}=\sqrt{3x^2+4}\ge2\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}4x^2=0\\4-x^2=0\end{matrix}\right.\\x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=2\)

Vậy GTNN của M là 2 khi \(x=0,y=2\)