Trong tam giác ABD, có: \(\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{QA}{QD}\) nên MQ//BD và \(\dfrac{QM}{BD}=\dfrac{AM}{AB}\).

 CMTT, ta có: NP//BD và \(\dfrac{NP}{BD}=\dfrac{CP}{CD}\)

 Nên MQ//NP. Hơn nữa vì \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CP}{CD}\) nên \(\dfrac{QM}{BD}=\dfrac{NP}{BD}\Rightarrow QM=NP\)

 Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.

 \(\Rightarrow\) MP, NQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.

 Dựng các hình bình hành AMXE, ABYE, CPZE, CDTE. 

 Ta có \(\dfrac{MX}{PZ}=\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{MI}{IP}\) nên theo định lý Thales thì X, I, Z thẳng hàng và \(\dfrac{IX}{IZ}=\dfrac{IM}{IP}=\dfrac{1}{2}\) hay I là trung điểm XZ

 Tương tự như vậy, ta cũng có Y, F, T thẳng hàng và F là trung điểm YT.

 Mặt khác, ta có \(\dfrac{EX}{XY}=\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{ZE}{ZT}\) nên XZ//YT

 \(\Rightarrow\dfrac{EZ}{ET}=\dfrac{XZ}{YT}=\dfrac{2IZ}{2FT}=\dfrac{IZ}{FT}\)

 Từ đó theo định lý Thales suy ra được E, I, F thẳng hàng (đpcm).

 Chọn hệ trục tọa độ Mxyz (M là gốc tọa độ) sao cho Mx trùng với tia MB, My trùng với tia MA và Mz cùng phương với BB' sao cho \(\overrightarrow{BB'}\) hướng theo chiều dương của Mz. 

 Gọi chiều cao lăng trụ là \(h>0\)

 Khi đó \(B\left(a;0;0\right)\), \(C'\left(-a;0;h\right)\), \(A'\left(0;a\sqrt{3};h\right)\)

 Ta có \(\overrightarrow{MC'}=\left(-a;0;h\right),\overrightarrow{BA'}=\left(-a;a\sqrt{3};h\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{MC'},\overrightarrow{BA'}\right]=\left(-ah\sqrt{3};0;a^2\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow\left|\left[\overrightarrow{MC'},\overrightarrow{BA'}\right]\right|=\sqrt{\left(-ah\sqrt{3}\right)^2+\left(a^2\sqrt{3}\right)^2}=a\sqrt{3h^2+3a^2}\)

Lại có \(\overrightarrow{MB}=\left(a;0;0\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{MC'},\overrightarrow{BA'}\right].\overrightarrow{MB}=-a^2h\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow d\left(MC',BA'\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{MC'},\overrightarrow{BA'}\right].\overrightarrow{MB}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{MC'},\overrightarrow{BA'}\right]\right|}\) \(=\dfrac{a^2h\sqrt{3}}{a\sqrt{3a^2+3h^2}}=\dfrac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}\)

Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}=\dfrac{a}{2}\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{h}{\sqrt{a^2+h^2}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2h=\sqrt{a^2+h^2}\) 

\(\Leftrightarrow4h^2=a^2+h^2\)

\(\Leftrightarrow3h^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow h=\dfrac{a}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow V=S_đ.h=\dfrac{\left(2a\right)^2\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{\sqrt{3}}=a^3\)

Vậy thể tích lăng trụ bằng \(a^3\)

Xét tam giác ABC vuông tại A. Đặt \(\widehat{B}=a\left(0^o< a< 90^o\right)\) 

Khi đó ta có \(\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}=\dfrac{AC}{AB}< 1\) (vì \(\cos a>\sin a\))

\(\Rightarrow AC< AB\)

\(\Rightarrow\widehat{B}< \widehat{C}\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Lại có \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o>\widehat{B}+\widehat{B}=2\widehat{B}\)  nên \(\widehat{B}=a< 45^o\).

Ta có đpcm.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2x=4\\x+2y+xy=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+2x=4\\2x+4y+2xy=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+2x+4y+2xy=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=2\\x+y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2-x\\y=-6-x\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y=2-x\). Thế vào pt thứ 2 của hệ, ta có:

\(x+2\left(2-x\right)+x\left(2-x\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x+4-2x+2x-x^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow x-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=2\\x=1\Rightarrow y=1\end{matrix}\right.\)

TH2: \(y=-x-6\). Thay vào pt thứ 2 của hệ, ta có:

\(x+2\left(-x-6\right)+x\left(-x-6\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x-2x-12-x^2-6x-4=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2-7x-16=0\) (vô nghiệm vì \(-x^2-7x-16< 0\) với mọi \(x\))

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm \(\left(x;y\right)\) là \(\left(1;1\right)\) và \(\left(0;2\right)\)

 Bạn dụ dỗ cũng hấp dẫn đó nhưng không có số \(\overline{ab}\) nào thỏa mãn cả vì kể cả khi lấy trường hợp cho ra kết quả lớn nhất đối với số có 2 chữ số là \(99-10+99\) thì nó mới bằng \(188\). 

1) Ta có: \(B=2019\times2022\)

\(=\left(2020-1\right)\times\left(2021+1\right)\)

\(=\left(2020-1\right)\times2021+\left(2020-1\right)\)

\(=2020\times2021-2021+2020-1\)

\(=2020\times2021-2\)

\(< 2020\times2021=A\)

Vậy \(B< A\)

2) Điều đó không thể xảy ra được, vì nếu gọi 7 số chưa biết theo thứ tự là \(a,b,c,d,e,f,g\) và tổng 3 số ở 3 ô bất kì bằng 17 thì phải có:

 \(a+b+4=a+b+c=a+b+d=a+b+e=...=a+b+8\)

 Vậy thì rõ ràng vô lí vì từ chỗ này suy ra \(4=8\left(??\right)\)

 Nên bạn xem lại đề nhé.

Theo đề bài, ta có \(\overline{qr}+2\overline{ppp}=2022\) 

\(\Leftrightarrow\overline{ppp}=\dfrac{2022-\overline{qr}}{2}\) \(\ge\dfrac{2022-99}{2}=961,5\) hay \(\overline{ppp}\ge962\)

Do đó \(\overline{ppp}=999\)

Khi đó \(\overline{qr}=2022-2\overline{ppp}=2022-2.999=24\)

Vậy \(p=9,q=2,r=4\)

 Số này thậm chí còn không chia hết cho 2 thì làm sao mà chia hết cho 6 được? Bạn xem lại đề nhé.

 Ý của đề bài là nếu có 4 số lẻ \(a,b,c,d\) mà \(a+b+c+d=202\) thì \(ƯCLN\left(a,b,c,d\right)=1\). Còn cái mà bạn Tú phản hồi là lấy VD \(3+9+93+97=202\) mà \(ƯCLN\left(3,9\right)\ne1\) thì cái đấy chỉ là ƯCLN của 2 trong 4 số thôi nên đề bài vẫn đúng nhé.

 Còn bài giải như sau: Gọi \(ƯCLN\left(a,b,c,d\right)=k\) (\(k\inℕ^∗\) và k lẻ)

 Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}a=xk\\b=yk\\c=zk\\d=tk\end{matrix}\right.\) với \(x,y,z,t\) là các số tự nhiên khác 0 và nguyên tố cùng nhau.

 Như vậy nếu \(a+b+c+d=202\) thì \(xk+yk+zk+tk=202\) hay \(x+y+z+t=\dfrac{202}{k}\). Khi đó \(202⋮k\) \(\Rightarrow k\in\left\{1;2;101;202\right\}\)

 Do \(x,y,z,t\ge1\) nên \(x+y+z+t\ge4\). Điều này có nghĩa là \(\dfrac{202}{k}\ge4\) hay \(k\le50\). Do đó \(k=1\) hoặc \(k=2\). Tuy nhiên, vì \(k\) lẻ nên giá trị duy nhất có thể của \(k\) là \(k=1\)

 Khi đó \(a=x;b=y;c=z;d=t\), dẫn đến:

 \(ƯCLN\left(a,b,c,d\right)=ƯCLN\left(x,y,z,t\right)=1\)

 Ta có đpcm.

 Ta có \(x+y+xy=3\Leftrightarrow-xy=x+y-3\). Khi đó \(P=\dfrac{3}{x+y}+x+y-3\)

 Đặt \(x+y=t\left(t>0\right)\). Khi đó: \(P=\dfrac{3}{t}+t-3\)

 Lại có  \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow3=x+y+xy\le\left(x+y\right)+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) \(=t+\dfrac{t^2}{4}\)

 \(\Leftrightarrow t^2+4t\ge12\) \(\Leftrightarrow t\ge2\)

 Khi đó \(P=\dfrac{3}{t}+t-3=\dfrac{3}{t}+\dfrac{3}{4}t+\dfrac{t}{4}-3\) 

\(\ge2\sqrt{\dfrac{3}{t}.\dfrac{3}{4}t}+\dfrac{2}{4}-3\) (chú ý rằng \(t\ge2\)) 

\(=2.\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=2\\\dfrac{3}{t}=\dfrac{3}{4}t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=2\) \(\Leftrightarrow x+y=2\) \(\Rightarrow xy=1\)

\(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy \(minP=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=1\)