Bài 1:

Ta lập bảng sau: (x biểu thị "không thích")

Xét các TH sau:

TH1: An thích nghe nhạc. Khi đó An sẽ không thích đọc sách. Do đó, Bình phải là người thích đọc sách (vì An, Chi và Dung không thích đọc sách). Suy ra Bình không thích vẽ tranh, do đó Chi phải là người thích vẽ tranh (vì cả An, Bình vả Dung đều không thích vẽ tranh). Cuối cùng, do An thích nghe nhạc nên Dung không thích nghe nhạc. Do đó, Dung phải thích chơi thể thao.

=> An thích nghe nhạc, Bình thích đọc sách, Chi thích vẽ tranh, Dung thích chơi thể thao. Ta được bảng sau:

TH2: An thích đọc sách. Khi đó An không thích nghe nhạc và Bình không thích đọc sách. Lúc này, ta được bảng:

Ta chỉ cần điền 3 chữ "o" vào bảng sao cho không có 2 chữ "o" nào nằm trên cùng cột hoặc cùng hàng thì sẽ được một trường hợp thỏa mãn. Chẳng hạn:

Tất cả những trường hợp như vậy, kết hợp với TH1 sẽ được tất cả các trường hợp thỏa mãn ycbt.

Kẻ BM vuông góc với AC tại M, B'M' vuông góc với A'C' tại M'. Khi đó dễ thấy mp(AMM'A) chính là hình chiếu vuông góc của mp(ABB'A') lên mp(ACC'A')

Ta có \(S_{AMM^{\prime}A^{\prime}}=AM.AA=1.4=4\left(m^2\right)\)

Vậy diện tích cần tìm là \(4m^2\)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left(\Omega\right)=C_{52}^5\)

a) Gọi A là biến cố: "Có đúng một bộ tứ quý." Khi đó có 13 cách chọn tứ quý (từ 2222 đến AAAA) và 48 cách chọn cây thứ năm. Do đó \(n\left(A\right)=13.48=624\) \(\rArr P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{624}{C_{52}^5}=\frac{1}{4165}\)

b) Gọi B là biến cố: "Có đúng 2 cây rô." Khi đó có \(C_{13}^2\) cách chọn 2 trong 13 cây rô và \(C_{39}^3\) cách chọn 3 cây từ 39 cây không mang chất rô. Do đó \(n\left(A\right)=C_{13}^2.C_{39}^3\rArr P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{C_{13}^2.C_{39}^3}{C_{52}^5}=\frac{9139}{33320}\)

c) Gọi C là biến cố: "Có ít nhất hai cây K." Khi đó ta tính xác suất của biến cố đối \(\overline{C}:\) "Có nhiều nhất một cây K."

TH1: Không có cây K nào. Có \(C_{48}^5\) cách (chọn 5 cây từ 48 cây không phải cây K)

TH2: Có đúng 1 cây K. Có \(4.C_{48}^4\) cách (chọn 1 trong 4 cây K rồi chọn 4 cây từ 48 cây không phải cây K)

Do đó \(n\left(\overline{C}\right)=C_{48}^5+4.C_{48}^4\rArr P\left(\overline{C}\right)=\frac{n\left(\overline{C}\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{C_{48}^5+4.C_{48}^4}{C_{52}^5}\)

\(\rArr P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=\frac{2257}{54145}\)

Kí hiệu 1 bạn thuộc lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là A, B, C. Khi đó một cách xếp hàng 8 bạn tương ứng với một chuỗi độ dài 8 chỉ gồm 3 kí tự A, B, C, trong đó có 1 kí tự A, 4 kí tự B và 3 kí tự C. Ví dụ: BCABBCBC.

Khi đó cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là cách xếp chuỗi sao cho 2 kí tự kề nhau thì khác nhau.

Giả sử rằng xâu có 7 kí tự với 4 kí tự B, 3 kí tự C thì cách xếp duy nhất thỏa mãn ycbt là BCBCBCB. Nếu thêm kí tự A vào chuỗi này, chắc chắn ta sẽ được một chuỗi thỏa mãn ycbt. Số chuỗi như vậy là \(4!.3!.8=1152\)

Ngoài ra, còn loại chuỗi _BAB_ (chẳng hạn CBCBABCB hay BABCBCBC) cũng thỏa mãn: Có 6 cách chọn vị trí nhóm BAB, có \(A_4^2=12\) cách chọn và sắp xếp 2 trong số 4 chữ B, 3 cách sắp xếp 3 chữ C và 2 cách sắp xếp 2 chữ B => Có \(6.12.3.2=432\) cách

Chỉ có 2 loại chuỗi này là thỏa mãn. Do đó, có tất cả \(1152+432=1584\) cách xếp hàng thỏa mãn ycbt.

Giả sử rằng ta không thể mua được 12 thùng sơn cùng màu, khi đó số thùng sơn mỗi màu sẽ không vượt quá 11. Do đó, tổng số thùng sơn không vượt quá 33. Điều này là vô lý vì cửa hàng bán tới 35 thùng sơn.

Vậy điều giả sử là sai, suy ra ta có thể mua được 12 thùng sơn của cùng 1 màu nào đó.

a) \(f\left(p\right)=g\left(p\right)\)

\(\lrArr ap^2+bp+c=mp+n\)

\(\lrArr ap^2+\left(b-m\right)p+c-n=0\)

\(\Delta=\left(b-m\right)^2-4a\left(c-n\right)\)

\(\rArr p=\frac{-\left(b-m\right)\pm\sqrt{\left(b-m\right)^2-4a\left(c-n\right)}}{2a}\)

b) Ta thấy hàm số bậc hai f(x) luôn có 1 cực trị. Để cực trị đó là cực tiểu thì \(\) \(a>0\)

c) Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có \(f\left(x\right)=x^2-3x+2\) và \(g\left(x\right)=2x-1\)

Cho \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\lrArr x^2-3x+2=2x-1\)

\(\lrArr x^2-5x+3=0\)

\(\lrArr x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}\)

Khi đó diện tích của vùng giới hạn của f(x) và g(x) là \(\int_{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}^{\frac{5+\sqrt{13}}{2}}\left\lbrack g\left(x\right)-f\left(x\right)\right\rbrack\mathrm{d}x\)

\(=\int_{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}^{\frac{5+\sqrt{13}}{2}}\left\lbrack\left(2x-1\right)-\left(x^2-3x+2\right)\right\rbrack\mathrm{d}x\)

\(\)\(=\int_{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}^{\frac{5+\sqrt{13}}{2}}\left(-x^2+5x-3\right)\mathrm{d}x\)

\(=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-3x\right)|_{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}^{\frac{5+\sqrt{13}}{2}}\)

\(=10,516\) (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

Hình dạng của đồ thị hàm số f(x) là một parabol (P), của g(x) là một đường thẳng (d). (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt.

Bạn xem lại đề nhé, vì nếu lấy 17 số 1 và 17 số -1 thì \(1\cdot\left(-1\right)\cdot1\cdot\left(-1\right)\cdot\ldots\cdot1\cdot\left(-1\right)=1\) mà \(1+\left(-1\right)+1+\left(-1\right)+\cdots+1+\left(-1\right)=0\)

a) Sai

b) Sai

c) Ta cần tìm xác suất P(A|B)

Ta có \(P\left(A\vert B\right)=\frac{P\left(A\right)P\left(B\left|A\right.\right)}{P\left(A\right)P\left(B\vert A\right)+P\left(\overline{A}\right)P\left(B\vert\overline{A}\right)}=\frac{0,6.0,8}{0,6.0,8+0,4.0,3}=0,8\) => Đúng (Công thức Bayes)

Gọi 2 số đó là \(a,b\) với \(a,b\in N;a>b;a-b=84;ƯCLN\left(a,b\right)=28\)

\(\rArr\begin{cases}a-b=84\\ a=28m\left(m\in N\right)\\ b=28n\left(n\in N\right)\end{cases}\) với \(ƯCLN\left(m,n\right)=1\)

\(\rArr28m-28n=84\rArr m-n=3\)

Ta chọn cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn m > n, m - n = 3 và ƯCLN(m, n) = 1 thì sẽ tìm được 1 cặp (a, b) tương ứng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ, chọn m = 5, n = 2 thì a = 140, b = 56; chọn m = 10, n = 7 thì a = 280, n = 196;...