\(B=1+3+3^2+...+3^{1999}+3^{2000}\\ 3B=3\cdot\left(1+3+3^2+...+3^{1999}+3^{2000}\right)\\ 3B=3+3^2+3^3+...+2^{2000}+3^{2001}\\ 3B-B=3+3^2+3^3+...+3^{2000}+3^{2001}-\left(1+3+3^2+...+3^{1999}+3^{2000}\right)\\ 2B=3^{2001}-1\\ B=\dfrac{3^{2001}-1}{2}\)

\(105\cdot2^3+5\cdot2^3-5\cdot7\\ =105\cdot8+5\cdot8-35\\ =\left(105+5\right)\cdot8-35\\ =110\cdot8-35\\ =880-35\\ =845\)

a, Số dưa còn lại chiếm là:

\(1-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{20}\) (số dưa)

Số dưa lúc đầu là:

\(15:\dfrac{1}{20}=300\) (quả)

b, Số dưa lần một bán là:

\(300\times\dfrac{1}{5}=60\) (quả)

Số dưa lần hai bán là:

\(300\times\dfrac{3}{4}=225\) (quả)

Tỉ số giữa số vở của anh với em là: \(\dfrac{4}{1}\)

Tổng số phần bằng nhau là:

\(4+1=5\) (phần)

Số vở của anh là:

\(45:5\times4=36\) (quyển)

Số vở của em là:

\(45-36=9\) (quyển)

Đặt: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\rightarrow a=kb,c=kd\)

\(\rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{kb.kd}{bd}=k^2\)

\(\rightarrow\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(kb\right)^2+\left(kd\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(đpcm\right)\)

Vậy: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}\)

Lần thứ hai bán được số vải là:

\(\dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{15}\) (số vải)

Số vải còn lại chiếm là:

\(1-\dfrac{2}{5}-\dfrac{4}{15}=\dfrac{1}{3}\) (số vải)

Lúc đầu, tấm vải dài là:

\(45:\dfrac{1}{3}=135\left(m\right)\)

Đáp số: \(135m\)

\(16=2\cdot2\cdot2\cdot2=2^4\)

\(32=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5\)

\(49=7\cdot7=7^2\)

\(1000=10\cdot10\cdot10=10^3\)

\(\rightarrow\) Số \(16;32;49;1000\)

\(200+5x=5^5:5^3\\ \Rightarrow200+5x=5^2\\ \Rightarrow200+5x=25\\ \Rightarrow5x=25-200\\ \Rightarrow5x=-175\\ \Rightarrow x=-175:5\\ \Rightarrow x=-35\)

\(5a^2\left(x-y\right)+10\left(x-y\right)a\\ =\left(5a^2+10a\right)\left(x-y\right)\\ =5a\left(a+2\right)\left(x-y\right)\)

Đổi: \(100m=0,1km;3\) giây \(=\dfrac{1}{1200}\) giờ

Vận tốc tương đối là:

\(0,1:\dfrac{1}{1200}=120\left(km/h\right)\)

Vận tốc tàu hỏa là:

\(120-45=75\left(km/h\right)\)

Đáp số: \(75km/h\)