Cho tam giác ABC nhon ( AB<AC) nôi tiếp đưỡng tròn (0. R) có AD ,BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. Gọi Q là trung điểm của AH và Hl cắit AD tại IChững minh: EB là phản giác của DFE và H cách đều ba cạnh của tam giác DFEChứng minh: Chứng minh: DFQE là từ giác nội tiếpLẩy M đối xứng với H qua BC. Chứng minh: M thuộc đường tròn...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhon ( AB<AC) nôi tiếp đưỡng tròn (0. R) có AD ,BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. Gọi Q là trung điểm của AH và Hl cắit AD tại I
- Chững minh: EB là phản giác của DFE và H cách đều ba cạnh của tam giác DFE
- Chứng minh: Chứng minh: DFQE là từ giác nội tiếp
- Lẩy M đối xứng với H qua BC. Chứng minh: M thuộc đường tròn (0)
a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>A,E,H,F cùng thuộc (Q)
Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CDHE là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{FEH}=\hat{FAH}\) (AEHF nội tiếp)
\(\hat{DEH}=\hat{DCH}\) (DCEH nội tiếp)
mà \(\hat{FAH}=\hat{DCH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{FEH}=\hat{DEH}\)
=>EH là phân giác của góc FED
Ta có: \(\hat{FDH}=\hat{FBH}\) (BFHD nội tiếp)
\(\hat{EDH}=\hat{ECH}\) (HECD nội tiếp)
mà \(\hat{FBH}=\hat{ECH}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)
nên \(\hat{FDH}=\hat{EDH}\)
=>DH là phân giác của góc FDE
Xét ΔDFE có
DH,EH là các đường phân giác
DH cắt EH tại H
Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF
=>H cách đều ba cạnh của ΔDEF
b: Xét ΔQAF có \(\hat{FQH}\) là góc ngoài tại đỉnh Q
nên \(\hat{FQH}=\hat{QFA}+\hat{QAF}=2\cdot\hat{QAF}\)
Xét ΔQAE có \(\hat{HQE}\) là góc ngoài tại đỉnh Q
nên \(\hat{HQE}=\hat{QAE}+\hat{QEA}=2\cdot\hat{QAE}\)
\(\hat{FQE}=\hat{FQH}+\hat{EQH}\)
\(=2\left(\hat{QAF}+\hat{QAE}\right)=2\cdot\hat{EAF}=2\cdot\hat{BAC}\)
\(\hat{FDE}=\hat{FDH}+\hat{EDH}=2\cdot\hat{FDH}=2\cdot\hat{ABE}\)
\(\hat{FQE}+\hat{FDE}=2\left(\hat{BAC}+\hat{ABE}\right)=2\cdot90^0=180^0\)
=>FQED nội tiếp
c: M đối xứng H qua BC
=>BC⊥HM tại trung điểm của HM
mà BC⊥HD tại D
và HM,HD có điểm chung là H
nên H,D,M thẳng hàng
=>HM⊥BC tại D và D là trung điểm của HM
Xét ΔBHM có
BD là đường cao
BD là đường trung tuyến
Do đó: ΔBHM cân tại B
Xét ΔCHM có
CD là đường cao
CD là đường trung tuyến
Do đó: ΔCHM cân tại C
Xét ΔBHC và ΔBMC có
BH=BM
CH=CM
BC chung
Do đó: ΔBHC=ΔBMC
=>\(\hat{BHC}=\hat{BMC}\)
mà \(\hat{BHC}=\hat{FHE}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{BMC}=\hat{FHE}\)
mà \(\hat{FHE}+\hat{FAE}=180^0\) (AEHF nội tiếp)
nên \(\hat{BMC}+\hat{BAC}=180^0\)
=>ABMC là tứ giác nội tiếp
=>M thuộc (O)