Phương trình bậc nhất một ẩn SVIP

1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

a. Nhận biết phương trình một ẩn

Định nghĩa

Một phương trình với ẩn $x$ có dạng $A(x) = B(x)$, trong đó vế trái $A(x)$ và vế phải $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến $x$.

Ví dụ 1.

i) Phương trình $2x - 1 = 7 - 3x$ là một phương trình với ẩn $x$.

ii) Phương trình $4(t^2 + 3) = 5 - (2t - 1)$ là một phương trình với ẩn $t$.

b. Nghiệm của phương trình một ẩn

Số $x_0$ gọi là nghiệm của phương trình $A(x) = B(x)$ nếu giá trị của $A(x)$ và $B(x)$ tại $x_0$ bằng nhau.

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu là $S$.

Ví dụ 2. Cho phương trình $5 + 3x = 4x - 9$.   (1)

+ Với $x = 14$, thay vào hai vế của phương trình ta có: $5 + 3.14 = 4.14 - 9 (= 47)$.

Do đó, $x = 14$ là một nghiệm của phương trình (1).

+ Với $x = -2$, thay vào hai vế của phương trình ta có: $5 + 3.(-2) = 4.(-2) - 9$.

Do đó, $x = -2$ không là nghiệm của phương trình (1).

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

a. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình một ẩn đơn giản nhất là phương trình có dạng: $ax + b = 0$, với $a$, $b$ là hai số đã cho và $a \ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

$a$ gọi là hệ số của $x$, $b$ gọi là hạng tử tự do, $x$ gọi là ẩn.

b. Cách giải

Phương trình bậc nhất một ẩn $ax + b = 0$ (với $a \ne 0$) được giải như sau:

$ax + b$	$=0$
$ax$	$=-b$
$x$	$=-\dfrac ba$

Phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ (với $a \ne 0$) luôn có một nghiệm duy nhất là $x = -\dfrac ba$.

Ví dụ 3. Giải phương trình: $3x + 11 = 0$.

$3x + 11 = 0$

$3x = -11$

$x = -\dfrac{11}3$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = -\dfrac{11}3$.

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ ĐƯỢC PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bằng cách chuyển vế và nhân cả hai vế của phương trình với một số khác $0$, ta có thể đưa một số phương trình ẩn $x$ về phương trình dạng $ax + b = 0$ và do đó có thể giải được chúng.

Ví dụ 4. Giải phương trình $3x + 1 = x + 5$.

$3x + 1 = x + 5$

$3x - 5x=5 - 1$ (Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái và các hạng tử tự do sang vế phải)

$-2x=4$ (Thu gọn và giải phương trình thu được)

$x=-2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \{-2\}$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $\dfrac{2(x-3)}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6x+9}{3}-2$.

$\dfrac{2(x-3)}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{6x+9}{3}-2$

$\dfrac{6(x-3)-6}{12}=\dfrac{4(6x+9)-24}{12}$ (Quy đồng mẫu hai vế)

$6(x-3)-6 = 4(6x+9)-24$ (Nhân hai vế với $12$ để khử mẫu)

$6x-18-6 = 24x + 36 - 24$ (Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc)

$6x - 24x = 36 - 24 + 18 + 6$ (Chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, các hạng tử không chứa $x$ sang vế phải)

$-18x=36$ (Thu gọn và giải phương trình nhận được)

$x=-2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-2$.

Chú ý: Quá trình giải các phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng $0$. Khi đó, phương trình đã cho có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$.

+ Nếu $0x = 0$, phương trình vô số nghiệm (nghiệm đúng với mọi $x$),

+ Nếu $0x = a$ với $a \ne 0, \, a \in \mathbb{R}$, phương trình vô nghiệm.