Có nhiều phương pháp để giải quyết vấn đề này. Ta sẽ đưa ra một giải pháp phù hợp với tôi.
Ta sẽ viết số có 10 chữ số bằng các chữ cái trong bảng chữ cái:
abcdefghij
Có bao nhiêu số có thể có để kiểm tra? Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ số nào trong số 10 số, chữ số thứ hai có thể là bất kỳ số nào trong số 9 số còn lại, chữ số thứ ba có thể là bất kỳ số nào trong số 8 số còn lại, v.v. Tổng cộng sẽ có 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 10! = 3628800 khả năng. Đây là rất nhiều con số để kiểm tra, vì vậy chúng ta hãy giảm tìm kiếm.
Để bắt đầu, chúng ta cần toàn bộ số có 10 chữ số để chia hết cho 10. Điều này có nghĩa là chữ số cuối cùng phải là 0. Vì vậy, chúng ta có j = 0, và số có dạng:
abcdefghi0
Đây là một bước nhỏ, nhưng nó làm giảm tìm kiếm theo hệ số 10, vì vậy có 362880 khả năng cần kiểm tra.
Tiếp theo, chúng ta cần 5 chữ số đầu tiên chia hết cho 5. Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số cuối cùng của nó là 0 hoặc 5. Vì đã sử dụng 0, nghĩa là chữ số thứ năm phải là 5, do đó e = 5.
abcd5fghi0
Đây là một bước nhỏ khác, nhưng nó làm giảm tìm kiếm theo hệ số 9, vì vậy có 40320 khả năng cần kiểm tra. Chúng ta có thể sử dụng thêm một số logic để giảm bớt tìm kiếm.
Các chữ số b, d, f và h phải chẵn vì ab phải chia hết cho 2, abcd phải chia hết cho 4, abcdef phải chia hết cho 6 và abcd5efgh phải chia hết cho 8. Điều này nghĩa là các chữ số b, d, f và h là các chữ số chẵn có sẵn 2, 4, 6 và 8.
Điều này cũng có nghĩa là các chữ số khác a, c, g và i đến từ các số còn lại 1, 3, 5, 7, 9.
Các chữ số ở các chấm chẵn là chẵn và các chữ số ở các chấm lẻ là lẻ.
4 chữ số chẵn có thể được sắp xếp thành 4x3x2x1 = 24 khả năng, và 5 chữ số lẻ có thể được sắp xếp thành 5x4x3x2x1 = 120 khả năng. Điều đó có nghĩa là có 24 × 120 = 2880 khả năng để kiểm tra. Chúng tôi đã giảm tìm kiếm từ hơn 3 triệu xuống dưới 3 nghìn bằng cách sử dụng các quy tắc chia hết đơn giản!
Để tiến xa hơn bằng cách sử dụng logic, chúng ta cần sử dụng nhiều quy tắc chia hết hơn. Số abcd phải chia hết cho 4, điều này xảy ra nếu hai chữ số cuối của nó là.
Vì c là số lẻ, nhưng không phải là 5 và d là số chẵn nhưng không phải là 0, chúng ta có thể tính ra các khả năng xảy ra đối với cd :
12
16
32
36
72
76
92
96
Điều này có nghĩa là chữ số d phải là 2 hoặc 6.
Hãy nhìn vào các chữ số def . Chúng ta đã biết d là 2 hoặc 6 và e là 5. Chúng ta cũng biết f phải là số chẵn nhưng không phải là 0, vì vậy nó phải là 4, 6 hoặc 8. Vì vậy, chúng ta có các khả năng sau:
254
256
258
652
654
658
Bây giờ chúng ta suy ra một sự thật khác về def . Chúng ta biết số abcdef chia hết cho 6 và do đó nó cũng phải chia hết cho 3. Vì abc chia hết cho 3 nên ta cũng có def phải chia hết cho 3, sao cho tổng các chữ số của nó là bội của 3. Điều này chỉ để lại 2 khả năng từ những điều trên:
258
654
Vì vậy, số của chúng tôi trông giống như sau:
abc258ghi0
abc654ghi0
Bây giờ chúng ta suy luận điều gì đó về fgh . Chúng ta biết số abcdefgh chia hết cho 8, có nghĩa là 3 chữ số cuối cùng của nó fgh phải chia hết cho 8.
Nếu f = 8, đây là các khả năng.
800
808
816
824
832
840
848
856
864
872
880
888
896
Chúng ta cũng cần g là số lẻ nhưng không phải là 5, và chúng ta cần h là số chẵn nhưng không phải là 0 hoặc bất kỳ số nào khác được sử dụng. Điều này chỉ để lại các số 816, 832, 872 và 896. Nhưng chúng ta phải loại trừ 832 và 872 vì khi f = 8 chúng ta cũng có d = 2 (chúng ta đã sử dụng chữ số 2 rồi).
Vì vậy, nếu số abc258ghi0, thì khả năng có thể là:
abc25816i0
abc25896i0
Bởi vì b là chẵn, nó phải là 4 trong những trường hợp này vì tất cả các số chẵn khác được sử dụng:
a4c25816i0
a4c25872i0
Nếu f = 4, đây là các khả năng.
400
408
416
424
432
440
448
456
464
472
480
488
496
Chúng ta cũng cần g là số lẻ nhưng không phải là 5, và chúng ta cần h là số chẵn nhưng không phải là 0 hoặc bất kỳ số nào khác được sử dụng. Điều này chỉ để lại các số 416, 432, 472 và 496. Nhưng chúng ta phải loại trừ 416 và 496 vì khi f = 4 chúng ta cũng có d = 6 (chúng ta đã sử dụng chữ số 6 rồi).
Nếu số abc654ghi0, thì khả năng có thể là:
abc65432i0
abc65472i0
Bởi vì b là số chẵn, nó phải là 8 trong những trường hợp này vì tất cả các số chẵn khác được sử dụng:
a8c65432i0
a8c65472i0
Để tính tổng bằng cách sử dụng quy tắc chia hết cho 8, đây là các số duy nhất có thể:
a4c25816i0
a4c25896i0
a8c65432i0
a8c65472i0
Bây giờ 3 chữ số abc đầu tiên phải chia hết cho 3, và các chữ số a và c không thể là bất kỳ chữ số nào đã được sử dụng. Khi chúng ta biết những chữ số đó, chữ số cuối cùng tôi cũng được xác định.
Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu đoán. Xét trường hợp a4c25816i0. Nếu chữ số đầu tiên là 3, thì chữ số thứ ba sẽ phải là 7 hoặc 9. Nhưng cả 3 chữ số đều không có tổng chia hết cho 3, vì vậy chữ số đầu tiên không thể là 3. Tương tự, chữ số đầu tiên không thể là 7 hoặc 9, vì vậy toàn bộ trường hợp này không hoạt động.
Xét trường hợp a4c25896i0. Nếu chữ số đầu tiên là 1, thì chữ số thứ ba sẽ phải là 7, nghĩa là chữ số thứ chín phải là 3. Chúng ta cũng có thể đổi 7 và 1 cho một khả năng khác:
1472589630
7412589630
Tương tự, chúng ta có thể tính ra các khả năng cho các trường hợp khác:
a8c65432i0
a8c65472i0
Trong trường hợp đầu tiên là 8c65432i0, các số 1, 7 và 9 có thể được sắp xếp theo 4 cách có thể hợp lệ:
1896543270
9816543270
7896543210
9876543210
Trong trường hợp thứ hai a8c65472i0, các số 1, 3 và 9 có thể được sắp xếp theo 4 cách có thể hợp lệ:
1836547290
3816547290
1896547230
9816547230
Vì vậy, chúng tôi có 10 con số có thể để kiểm tra:
1472589630
7412589630
1896543270
9816543270
7896543210
9876543210
1836547290
3816547290
1896547230
9816547230
Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem 7 chữ số đầu tiên có chia hết cho 7 hay không (em có thể làm điều này bằng cách chia hoặc em có thể thực hiện phép chia hết cho đồ thị 7).
Chỉ một trong số các con số là:
3816547290
Và đó là câu trả lời!
