có : \(\frac{2}{n\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\left(n+2\right)}=\frac{2}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}\)

áp dụng vào ta đc :

\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2000}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)

\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2002}}\)

\(A=\frac{\sqrt{4004}+\sqrt{2002}-\sqrt{2}}{\sqrt{4004}}=\)

ôi chết sai công thức ở trên, viết A thành như này nhes \(A=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3+\sqrt{3}}+\frac{2}{4\sqrt{2}+2\sqrt{4}}+...\right)\)

ta có :

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{4}{ab}\ge\frac{4}{\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{8}{a^2+b^2}\)

tương tự ta có : \(\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{8}{b^2+c^2};\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{8}{a^2+c^2}\)

Cộng lại ta có bất đẳng thức cần chứng minh 

dấu bằng xảy ra khi a=b=c

giúp mình giải chi tiết nhé

b) Để y = ( 2m - 3 )x + 2m + 1 là hàm số bậc nhất thì 2m - 3 khác 0 <=> m khác 3/2

d) Để \(y=\sqrt{3-m}x+5\sqrt{3-m}\)là hàm số bậc nhất thì \(\sqrt{3-m}>0\Leftrightarrow3-m>0\Leftrightarrow m< 3\)

phải cho a;b;c > 0 chứ nhỉ

có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\)

tương tự có \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\) và \(\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

3 căn 2 + 2 căn 3 / căn 2 + căn 3 -2/ căn 6-2

-2/căn bậc hai(6)+căn bậc hai(2) x căn bậc hai(3)+căn bậc hai(3)+3 x căn bậc hai(2)-2

\(\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{6}-2}=\frac{\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{6-4}\)

\(=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{6}-4}{2}\)

\(=\frac{6+2\sqrt{6}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{6}-4}{2}=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2}{2}\)( đến đây thì bí :)) )

a. ĐKXĐ : \(x\ne\frac{1}{2};\frac{5}{2};4;-\frac{3}{2};\frac{1\pm\sqrt{43}}{2}\)

 \(A=\left(\frac{2x-3}{4x^2-12x+5}+\frac{3x-8}{13x-2x^2-20}-\frac{3}{2x-1}\right):\frac{21+2x-2x^2}{4x^2+4x-3}+\)

\(=\left(\frac{2x-3}{\left(2x-1\right)\left(2x-5\right)}-\frac{3x-8}{\left(2x-5\right)\left(x-4\right)}-\frac{3}{2x-1}\right).\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+3\right)}{21+2x-2x^2}+1\)

\(=\frac{\left(2x-3\right)\left(x-4\right)-\left(3x-8\right)\left(2x-1\right)-3\left(2x-5\right)\left(x-4\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x-5\right)\left(x-4\right)}.\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+3\right)}{21+2x-2x^2}+1\)

\(=\frac{-10x^2+47x-56}{\left(2x-5\right)\left(x-4\right)}.\frac{2x+3}{-2x^2+2x+21}+1\) số to wa

Chứng minh bất đẳng thức:\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\) 2

Giải

\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\) 2

\(\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)

\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng) 

suy ra \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\) 2 (luôn đúng)
 

Để \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)thì \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Xét hiệu \(a^2+b^2-2ab=\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(đpcm\right)\)

a,b > 0

Thực hiện phép biến đổi tương đương ta có :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)( đúng vì a,b > 0 )

Vậy ta có đpcm . Dấu "=" xảy ra <=> a = b 

ĐKXĐ : \(4\le x\le7\)

\(\sqrt{x+3}-\sqrt{7-x}=\sqrt{2x-8}\)

<=> \(x+3=\left(\sqrt{2x-8}+\sqrt{7-x}\right)^2\)

<=>\(x+3=x-1+2\sqrt{\left(7-x\right)\left(2x-8\right)}\)

<=> \(4=\left(7-x\right)\left(2x-8\right)\)

<=> \(x^2-11x+30=0\)<=>\(\orbr{\begin{cases}x=5\\x=6\end{cases}}\)(tm)

Vậy pt có tập nghiệm S = { 5 ; 6 }