cho diện tích hình thang là 124,7 m vuông  đáy lón là 15, đái bé là 14m, tính chiều cao

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}\) thì \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{1}=3\) hay \(y=3x\).

Ta có:

\(N=\dfrac{x-y}{x+3y}\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{x-3x}{x+3\left(3x\right)}\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{-2x}{x+9x}\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{-2x}{10x}=\dfrac{-2}{10}=-5\)

\(\dfrac{x}{-5}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{11}\) và \(x-z=-32\)

Ta có\(\dfrac{x}{-5}=\dfrac{z}{11}=\dfrac{x-z}{-5-11}=-\dfrac{32}{-16}=2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot\left(-5\right)=-10\\y=2\cdot9=18\\z=2\cdot11=22\end{matrix}\right.\)

Vậy x=-10

      y=18

        z=22

\(\dfrac{14}{21}=\dfrac{42}{x}\)

\(14x=42.21\)

\(14x=882\)

x = 63

Để chứng minh điều trên ta xét dãy số: 

\(A=1-3+3^2-3^3+...+3^{98}-3^{99}\)

\(3A=3-3^2+3^3-3^4+...+3^{99}-3^{100}\)

\(3A+A=\left(3-3^2+3^3-...-3^{100}\right)+\left(1-3+...+3^{98}-3^{99}\right)\)

\(4A=1-3^{100}\)

\(A=\dfrac{1-3^{100}}{4}\)

=> \(1-3^{100}⋮4\)

hay  \(3^{100}:4\) ( dư 1) (đcpcm)

Điểm số của An bằng \(\dfrac{5}{6}\) điểm số của Bình, điểm số của yên bằng 50% số điểm của An hay điểm số mỗi bạn Yên, An, Bình có tỉ lệ lần lượt là \(\left(5\cdot50\%\right):5:6=2,5:5:6\).

Gọi số tiền mỗi bạn nhận được lần lượt là \(x,y,z\), ta có:

\(\dfrac{x}{2,5}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2,5}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}=\dfrac{x+y+z}{2,5+5+6}=\dfrac{480000}{13,5}=\dfrac{320000}{9}\)

Suy ra:

\(x=2,5\cdot\dfrac{320000}{9}\approx88889\left(đồng\right)\)

\(y=5\cdot\dfrac{320000}{9}\approx177778\left(đồng\right)\)

\(z=6\cdot\dfrac{320000}{9}\approx213333\left(đồng\right)\)

Vậy Yên có 88 889 đồng, An có 177 778 đồng, Bình có 213 333 đồng

\(1+\dfrac{1}{2}\left(1+2\right)+\dfrac{1}{3}\left(1+2+3\right)+...+\dfrac{1}{20}\left(1+2+...+20\right)\)

\(=1+\dfrac{3\cdot2\div2}{2}+\dfrac{4\cdot3\div2}{3}+...+\dfrac{21\cdot20\div2}{20}\)

\(=1+\dfrac{3}{2}+2+...+\dfrac{21}{2}\) (A)

Trong (A) có \(\dfrac{\dfrac{21}{2}-1}{\dfrac{3}{2}-1}+1=20\) (số hạng)

Suy ra \(\left(A\right)=\left(\dfrac{21}{2}+1\right)\cdot20\div2=115\)

Vậy \(1+\dfrac{1}{2}\left(1+2\right)+\dfrac{1}{3}\left(1+2+3\right)+...+\dfrac{1}{20}\left(1+2+...+20\right)=115\)

Lời giải:

$A=1-3+3^2-3^3+3^4-....+3^{38}-3^{39}$

$3A=3-3^2+3^3-3^4+3^5-...+3^{39}-3^{40}$

$A+3A=(1-3+3^2-3^3+3^4-....+3^{38}-3^{39})+(3-3^2+3^3-3^4+3^5-...+3^{39}-3^{40})$

$4A=1-3^{40}$

b.

Xét $B=1-3+3^2-3^3+....+3^{98}-3^{99}$

$3B=3-3^2+3^3-3^4+....+3^{99}-3^{100}$

$\Rightarrow B+3B=1-3^{100}$

$4B=1-3^{100}$
$3^{100}=1-4B$

Suy ra $3^{100}$ chia $4$ dư $1$

a) \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow y=3x\). Thay vào biểu thức N, ta có: \(N=\dfrac{x-3x}{x+9x}=\dfrac{-2x}{10x}=-\dfrac{1}{5}\)

b) \(x+y+1=0\Leftrightarrow x+y=-1\). Thay vào biểu thức M, ta có: \(M=\left(-1\right)^2-y^3\left(-1\right)+x^2-y^3+3\) \(=1+y^3+x^2-y^3+3\) \(=x^2+4\)