Nhận xét: 345 và 5y^2 chia hết cho 5 nên 3x^2 chia hết cho 5  => x^2 chia hết cho 5 mà 3x^2 < 345 => x^2 < 345 : 3 = 115

=> x^2 = 25; 100 => y² = 54 hoặc 9 

=> chọn x^2 = 100 và y^2 = 9

=> x = 10 ; -10

y = 3; -3

2.A = 2x² + 2y² - 2xy  - 2x + 2y + 2 = (x² - 2xy + y² ) + (x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) = (x - y)² + (x - 1)² + (y +1)²

= (x - y)² + (1 - x)² + (y +1)²

Ap dụng bđt Bu nhi a: (ax + by + cz)² \(\le\) (a² + b² + c²)(x² + y² + z²). dấu = xảy ra khi a/x = b/y = c/z

ta có [(x - y).1 + (1- x).1 + (y + 1).1]² \(\le\) [(x - y)² + (1 - x)² + (y +1)²].(1² + 1² + 1²)

=> 4 \(\le\) 3. 2.A => A \(\ge\)2/3 => Min A = 2/3

dấu = xảy ra khi x - y = 1- x = y + 1 => x = 1/3; y = -1/3

ta có:

2x^2-4y=10

<=>2x^2-4y+2=12

<=>2(x^2-2y+1)=12

<=>(x-y)^2=6

<=>x-y=căn 6

vì căn 6 là số vô tỉ nên x-y là 1 số vô tỉ (1).

giả sử x,y là 2 nghiệm nguyên thì x-y nguyên trái với (1). Vậy pt ko có nghiệm nguyên.

Phương trình trên không phải không có nghiệm mà có rất nhiều nghiệm
Ta có 2x^2-4y=10 <=>2(x^2-2y)=10
                           <=>x^2-2y=5
Ta thấy 2y là số chẵn mà 5 là số lẻ =>x^2 là số lẻ từ đó ta cứ cho x là số lẻ sau đó suy ra giá trị của y 
Ví dụ với x=3 =>x^2=9=>y=2
              x=5=>x^2=25=>y=10
Cứ như thế ta sẽ tìm được tất cả các cặp số

giả thiết 

=> a^2 / b+ c + ab/c+a + ac/ a+ b = a

ab/ (b+c) + b^2 / (c+a) + cb/ a+b = b

ac/ b+ c + bc/ c+a + c^2/ a+b = c

Cộng từng vế với nhau ta được :

  a^2 / b+ c + ab/c+a + ac/ a+ b  + ab/ (b+c) + b^2 / (c+a) + cb/ a+b + ac/ b+ c + bc/ c+a + c^2/ a+b  > a+ b + c

=> (a^2/ b+ c + b^2/ c+a + c^2/ a+b) + (ab/ (c+ a) + bc/ (c+a) ) + (ac/ (a+b) + cb/ (a+b)) + (ab/ (b+c) + ac/ (b+c)) = a+ b + c

=>   (a^2/ b+ c + b^2/ c+a + c^2/ a+b) + b + c + a = a+ b + c

=>  a^2/ b+ c + b^2/ c+a + c^2/ a+b = 0 (ĐPCM)

giả thiết 

=> a^2 / b+ c + ab/c+a + ac/ a+ b = a

ab/ (b+c) + b^2 / (c+a) + cb/ a+b = b

ac/ b+ c + bc/ c+a + c^2/ a+b = c

Cộng từng vế với nhau ta được :

  a^2 / b+ c + ab/c+a + ac/ a+ b  + ab/ (b+c) + b^2 / (c+a) + cb/ a+b + ac/ b+ c + bc/ c+a + c^2/ a+b  > a+ b + c

=> (a^2/ b+ c + b^2/ c+a + c^2/ a+b) + (ab/ (c+ a) + bc/ (c+a) ) + (ac/ (a+b) + cb/ (a+b)) + (ab/ (b+c) + ac/ (b+c)) = a+ b + c

=>   (a^2/ b+ c + b^2/ c+a + c^2/ a+b) + b + c + a = a+ b + c

=>  a^2/ b+ c + b^2/ c+a + c^2/ a+b = 0 (ĐPCM)

quy đồng và biến đổi tương đương 

Đặt A = \(\frac{\left(x+10\right)^2}{x}=\frac{x^2+20x+100}{x}=x+20+\frac{100}{x}\)(1) (với x \(\ne\)0)

Đặt y = 1/x

A = y² + 100y + 20 = (y + 50)² - 2480 \(\ge\) - 2480

Vậy Min A = - 2480 khi y = - 50 => x = - 1/50 (thỏa đk)

Mà A = 1/P

=> A đạt nhỏ nhất khi P đạt lớn nhất

=> Max P = 1/A = -1/2480 khi x = - 1/50