\(x^2+\frac{1}{x^2}=7\Rightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=49\Leftrightarrow x^4+2.x^2.\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}=49\Leftrightarrow x^4+2+\frac{1}{x^4}=49\)

\(\Leftrightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=47\Rightarrow\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)^2=47^2\)

\(\Leftrightarrow x^8+2.x^4.\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^8}=2209\Rightarrow x^8+2+\frac{1}{x^8}=2209\Rightarrow x^8+\frac{1}{x^8}=2209-2=2207\)

1 kết quả đúng 100% luôn đó

sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung là ra

+) Với các số nguyên dương x, y,z ta có \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

                                                          \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\) 

                                                           \(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\) 

Cộng từng vế của các bđt trên ta được \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(*)

+) ta dễ dàng chứng minh được điều sau: Cho x,y, z dương. Nếu \(\frac{x}{y}

\(\rightarrow\)Ta có: \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

                                           \(\Rightarrow\) \(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)

\(\rightarrow\)Tương tự như trên, ta có đẳng thức: \(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{y+z+x}+\frac{x}{z+x+y}=\frac{y+z+x}{y+z+x}=1\)

Mà \(\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\right)+\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)=3\)

Kết hợp các Bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh.

vì y² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên 5.y² cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 

=> 6x² < 74 => x² < 74/6 <13

vì x nguyên nên x² có thể nhận các giá trị 0; 1; 4; 9

x² = 0 => 5y² = 74 => y² = 74/5 loại vì y nguyên

x² = 1 => 5y² = 68 => y² = 68/5 loại vì y nguyên

x² = 4 => 5y² = 50 => y² = 10 => loại

x² = 9 => 5y² = 20 => y² = 4 => y = 2 hoặc -2 khi đps x = 3 hoặc -3

vậy có tất cả các cặp (x;y) là (3;2); (-3;2); (3;-2); (-3;-2);

vì y2
 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên 5.y
2
 cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 
=> 6x2
 < 74 => x2
 < 74/6 <13
vì x nguyên nên x2
 có thể nhận các giá trị 0; 1; 4; 9
x
2
 = 0 => 5y2
 = 74 => y2
 = 74/5 loại vì y nguyên
x
2
 = 1 => 5y2
 = 68 => y2
 = 68/5 loại vì y nguyên
x
2
 = 4 => 5y2
 = 50 => y2
 = 10 => loại
x
2
 = 9 => 5y2
 = 20 => y2
 = 4 => y = 2 hoặc -2 khi đps x = 3 hoặc -3
vậy có tất cả các cặp (x;y) là (3;2); (-3;2); (3;-2); (-3;-2)

:3

x³ + y³ = (x+y)(x² + y² -xy) =x² + y² -xy = (x+y)² -3xy = 1-3xy=a

x⁵ + y⁵ = (x+ y)(x⁴ -x³.y + x²y² - xy³ + y⁴) = (x⁴ + y⁴ + x²y²) - (x³.y +  xy³) = (x² + y²)² - x²y² - xy (x² + y²) 

= [(x+y)² - 2xy]² - x²y² -xy [(x+y)² -2xy] = (1-2xy)² -   x²y² -xy(1-2xy) = 4x²y² -4xy +1 - x²y² - xy+ 2x²y² 

= 5x²y² -5xy +1 = b

xét 5a(a+1) = 5(1-3xy)(1-3xy+1) = 5(1-3xy)(2-3xy) = 5 (2-9xy+ 9x²y²) = 10 - 45xy + 5x²y²  = 9( 5x²y² -5xy +1 ) + 1 = 9b + 1

=> đpcm

mình xin bái phục bạn Trần Thị Loan