Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm Ở, 2 đường cao BM,CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. CM:

a) Tứ giác BCMN nội tiếp.

b) ∆AMN~∆ABC

c) Tia AO cắt đường tròn tâm Ở tại K cắt MN tại I

d,CM Tứ giác BHCK là hình bình hành

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{\left(y+1\right)^2}+=\frac{y^2}{\left(x+1\right)^2}\\3xy=x+y+1\end{cases}}\)

Hai xe cùng khởi hành 1 lúc , đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 140 km . Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km /h , nên ô tô đã đến Btrước xe máy 20 phút . Tính vận tốc mỗi xe

CMR

a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc lớn hơn hoặc bằng 0

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AC tại E cắt AC tại F . Các tia BF và CE cắt nhau tại H . CMR

a) AH vuông goác BC

b) Gọi K là giao điểm của AH và BC. CMR: FB là phân giác góc EFK

c) Gọi M là trung điểm BH. CMR: EMKF nội tiếp

Cho đường tròn (O). Điểm C ngoài đc tròn kẻ 2 tiếp tuyến CA và CB. Từ M trong cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến vs đường tròn (O) cắt CA và CB lần lượt ở E và F. Giao điểm của OE và AB là K. CMR: FK vuông góc vs OE

Chứng minh \(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}< \frac{3}{4}\)

Cho đường tròn (O) với dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung. C là 1 điểm thuộc đường kính AB ( C khác A, B). Tia MC cắt (O) tại D

a) CMR: MC. MD= MA²

b) Khi C di động thì tổng bán kính các đường tròn (O1) đi qua 3 điểm B, C, D và đường tròn (O2) đi qua 3 điểm A, C, D không đổi

Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF, CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp.