Câu 2 : x^+x+y^2+x = x(x+1) +y(y+1) chia cho vế trái (x+1)(y+1) ...
Bài toán dễ dàng :V

Mình nhớ có học qua rùi mà dốt quá trả chữ cho thầy cô hết trơn :)

chỗ \(x_2=1\)là dấu cộng hay trừ đấy

Câu này bạn cứ bình tĩnh tính toán đưa tất cả vào trong dấu căn rồi bỏ hết dấu căn đi nhé. Phân tích vế trái đc:

\(\sqrt{3-\sqrt{5}}.\sqrt{9+4\sqrt{5}}\)

= \(\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(9+4\sqrt{5}\right)}\)

= \(\sqrt{7+3\sqrt{5}}\)

Bạn tự tính toán, vì công thức gõ lâu nên mình chỉ ghi theo kiểu dàn ý "baren" nhé. Ko hỉu cứ hỏi, lúc nào rảnh mình trả lời.

a, chứng minh 5 điểm.... 
tứ giác APFD nội tiếp (vì gFAP=PDF=45 độ) suy ra gAPF=90d (vi goc D=1v) hay FP vuông góc với AE 
suy tiếp được tứ giác FPEC nội tiếp (có 2 góc đối đều =1v) (1) 
ta dễ dàng chứng minh được tam giác AFP vuông cân để suy ra AFP=45d 
xét tg AQP và PCQ có PA=PC, QC=QA (vì BD là trục đx của HV); PQ chung suy ra 2 tg này bằng nhau suy tiếp được PCQ=PAQ=45đ 
mà góc AFP cũng bằng 45d suy ra tứ giác QFCP nt(2) 
từ 1 và 2 suy ra đpcm 
b, ta có Diện tích tam giác AFE=dt(APQ)+dt(QFEB) 
dt(QFEB)=dt(BCD)-dt(CQD)-dt(CPD) 
gọi O là tâm của HV ABCD 
có dt(QFEB)=1/2OC.PD-1/2PB.CO-1/2CO.DF=1/2.... 
suy ra dpcm 

c, tự vẽ

Đặt 2 pt lần lượt là (1) và (2) nhé.

Bình phương (1) được: (x+3)^2 + (y-2)^2 + 2*|(x+3)(y-2)| = 25  <=> (x+3)^2 + (y-2)^2 + 2*6 =25

<=> (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25- 12 = 13

Ta có HPT:

(x+3)(y-2)= -6 (2)             => 2*(x+3)(y-2) = -12 (4)

(x+3)^2 + (y-2)^2 = 13 (3)     (x+3)^2 + (y-2)^2 = 13 (3)

~ Lấy (3) + (4) được: (x+3+y-2)^2 = 1 (hằng đẳng thức a^2+b^2 + 2ab)

=> ( x+y+1)^2 = 1

=> x+y= 0 hoặc x+y = -2

TH1: x+y=0 -> x= -y

Thay vào (2) được: (-y+3)(y-2)=-6 => (y-3)(y-2) = 6 => y^2 -5y + 6 = 6 => y^2 - 5y=0 

=> y(y-5) = 0 =>  y=0 -> x= 0 hoặc y = 5 -> x= -5

TH2: x+y = -2 => x = -2 - y

Thay x= -2 - y vào (2) được: (-2 -y +3)(y-2) = -6  => ( -y + 1)(y-2) = -6 => (y-1)(y-2) = 6

=> y^2 - 3y + 2 = 6 -> y^2 - 3y - 4 =0

Giải pt này ra ( dạng đặc biệt a-b+c=0) được 2 nghiệm y₁ = -1 -> x = -1 ; y₂ = -c/a = 4 -> x = -6

Vậy hpt có 4 nghiệm: {x;y}= {0;0}, {-5; 5}, {-1; -1} , {-6; 4}

-----

Note: Nếu cách này có dài mong bạn thông cảm có thể tìm cách khác. Nếu có thì send massage cách đó cho mình học hỏi nhá. Phần kết luận bạn xem thứ tự x,y có đúng ko nha.

[ x + 3 + y - 2 = 5

[xy -2x + 3y- 6 = -6 

{x + y = 4

{xy -2x + 3y = o

[x= 4 - y

[4y - y² - 8 + 2y + 3y = 0

{x = 4 - y

{- y² + 9y - 8 = 0 <=> a+b+c = -1 + 9 - 8 = 0 => y₁ =1 ; y₂ = 8 

thay y ta có : x₁ = 3 ; x₂ = -4

Lời giải cuối cùng: Nhưng cách bước trên, đầu tiền bạn phải cm phương trình luôn có 2 nghiệm x₁ , x₂ hoặc điều kiện của m để pt có 2 nghiệm.

Vấn đề là bạn phải vận dụng từ Viet mà biểu diễn ra một biểu thức vế phải là 1 hằng số ko chứa tham số m, còn vế trái chỉ chứa x₁, x₂

--------

x² - 2mx - m² - 1 = 0 (a=1; b= -2m; c= -m² - 1)

Δ = b² - 4ac = (-2m)² - 4 * (-m² - 1) = 4m² + 4m² + 4 >0

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ phân biệt với mọi m.

Theo viet ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = 2m => ( x₁ + x₂ )^2 = 4m² (1)

x₁ * x₂ = c/a = -m² - 1  => 4 * x₁ * x₂ = -4m² - 4 (2)

Lấy (1) + (2) được: ( x₁ + x₂ )^2 + 4* x₁ * x₂ = -4

<=> x₁² + x₂² + 6 * x₁ * x₂ = -4

Giải delta để tìm điều kiện của m để tồn tại 2 nghiệm bạn nhé. Delta >= 0

<=> 4m^2 +4m^2+1 >=0

<=> 8m^2 + 1 >= 0

Pt luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.

Theo viet: x1+ x2 = -b/a = 2m => (x1 + x2)^2 = 2m^2

x1 * x2 = c/a = -m^2 - 1 => (-2) *x1 * x2 = 2m^2 + 2

-=> (x1+x^2)^2 - (-2)*x1*x2 = -2

=> x1^2 + 4*x1*x2 = -2

Tui có cách khác đây, góp vui thôi thi đừng xài (bí lắm xài cx dc)

Dự đoán dấu "=" xảy khi \(x=y=z=1\) tính được \(P=3\)

Vậy cần chứng minh đó là GTNN của P

Thật vậy, tức là cần chứng minh 

\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3+3x}{9+9y^2}+\frac{3+3y}{9+9z^2}+\frac{3+3z}{9+9x^2}\ge1\)

\(\LeftrightarrowΣ\frac{4x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2+9y^2}\ge\frac{3}{x+y+z}\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(7x^6+30x^5y+21x^5z-6x^4y^2+57x^4z^2+14x^3y^3+75x^4yz-6x^3y^2z+66x^3z^2y-258x^2y^2z\right)\ge0\)

BĐT cuối đúng vì \(Σx^6\geΣx^4y^2\) theo BĐT Rearrangement còn lại đúng theo AM-GM

P/s:dưới chân mỗi Σ bn ghi chữ "cyc" hộ mk nhé

Hướng giải nè: 

P/s: đây là cách giải của bản thân mik nên chưa bt nó tối ưu chưa

\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2.\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{y.\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)

bạn lm tương tự r cộng vào,,đánh giá nốt là ok

Bài này sử dựng định lý viet để chứng minh:

1. Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc a có dạng : \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\); \(M\left(1,2\right)\)thuộc (d) nên : \(2=a+b\Rightarrow b=2-a\left(1\right)\). Xét phương trình hoành độ giao điểm có : \(x^2=ax+b\left(2\right)\)thế 1 vào 2 có \(x^2=ax+2-a\Leftrightarrow x^2-ax-\left(2-a\right)=0\)phương trình có : \(\Delta=a^2+4\left(2-a\right)=a^2-4a+8\)\(\Rightarrow\Delta=\left(a^2-4a+4\right)+4=\left(a-2\right)^2+4\ge4\forall a\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá tri của \(a\ne0\)
2. Khi đó parabol cắt d tại hai điểm A,B  với A,B có hoành độ lần lượt là \(x_A,x_B\) theo vi ét ta có : \(\hept{\begin{cases}x_A+x_B=a\\x_Ax_B=-\left(2-a\right)\end{cases}}\)ta xét \(x_A+x_B-x_Ax_B=a+\left(2-a\right)=2\left(dpcm\right)\)