\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\left(-3+2\sqrt{5}\right)}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)

\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)}=\sqrt{1}=1\)

\(\sqrt{\frac{16}{2-x}}-\sqrt{2-x}< 2\)

Đặt \(\sqrt{2-x}=a\left(0< a< 2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{4}{a}-a< 2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a-4>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a< -1-\sqrt{5}\\a>\sqrt{5}-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}-1< a< 2\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}-1< \sqrt{2-x}< 2\)

\(\Rightarrow6-2\sqrt{5}< 2-x< 4\)

\(\Rightarrow2\sqrt{5}-4>x>-2\)

Đặt \(\sqrt{2-x}=t\)

=> t>0

Bất phương trình đã cho trở thành: 

\(\sqrt{\frac{16}{t^2}}-t< 2\)

<=> \(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{t}}-t< 2\)

<=> \(\frac{4}{t}-t< 2\)

Vì t > 0 nên nhân cả 2 vế với t được:

\(4-t^2< 2t\)

\(-t^2-2t+4< 0\)

Áp dụng công thức nghiệm thì được:

\(\orbr{\begin{cases}t>-1+\sqrt{5}\left(Thoả.mãn.t>0\right)\\t< -1-\sqrt{5}\left(k.thoa.man.t>0\right)\end{cases}}\)

Vì \(t=\sqrt{2-x}\)

=> \(\sqrt{2-x}>-1+\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow2-x>1-2\sqrt{5}+5\)

\(\Leftrightarrow-x>5+1-2-2\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow x< 2\sqrt{5-4}\left(thoa.man0< x< 2\right)\)

Đầu tiên ta có:

\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{\frac{1}{a}+b+1}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}+1}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab}=1\)

Quay lại bài toán ta có:

\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}=\frac{1}{a^2+b^2+2a+2}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}\\\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\end{cases}}\)

Từ đó suy ra 

\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\)

\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)

Câu hỏi của Nguyễn Trọng Kiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

đề thiếu ko?? không cho số liệu gì làm sao tính?

Đặt A= "biểu thức"

\(A^2=5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}-2\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}=10-2=8\)

=> A= căn 8 

KL : "biểu thức" = căn 8