30 người ngồi quanh một bàn tròn 30 chiếc ghế đánh số theo thứ tự từ 1 đến 10. Một số trong họ là hiệp sĩ, một số là kẻ lừa dối. Hiệp sĩ luôn nói thật còn kẻ lừa dối nói dối. Mỗi người có đúng một người bạn trong số những người khác. Hơn nữa, bạn của hiệp sĩ là kẻ lừa dối và bạn của kẻ lừa dối là hiệp sĩ. Mỗi người đều được hỏi: “Có phải bạn của anh đang ngồi cạnh anh không? 

Câu IV. (3,0 điểm).

Cho tam giác nhọn $A B C$ có $A B<A C$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $A B C$ và $E$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ lên đường thẳng $A O$.

1. Chứng minh $A E H B$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh đường thẳng $H E$ vuông góc với đường thẳng $A C$.

3. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C$. Tính tỉ số $\dfrac{M E}{M H}$.

Cho đường tròn (o) đường kính MN, dây CD vuông góc vớii Mn tại H. Trên CH lấy I, MI cắt đường tròn tại A. 

a) Chứng minh: tứ giác AIHN nội tiếp đường tròn

b) chứng minh: góc MCD = góc MAC

c) Chứng minh : MC${}^{}$ = MI.MA

d) Gọi P là giao điểm của MA và CN

Gọi Q là giao điểm của AD và MN

chứng minh: P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACQ

Câu 6. (1,0 điểm) Người ta nhấn chìm hoàn toàn một viên bi sắt đặc vào một cốc thủy tinh chứa nước có dạng hình trụ thì nước trong cốc dâng lên thêm $2$ cm và không tràn ra ngoài cốc (như hình vẽ).

Biết đường kính đáy của cốc bằng $6$ cm (bỏ qua bề dày của thành cốc). Tính thể tích của viên bi.

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn, $A B<A C$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $B E$, $C F$ là các đường cao và $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$.

a) Chứng minh $A E H F$ là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A E H F$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $I$, ($A$ không trùng với $I$). Chứng minh hai tam giác $I B C$ và $I F E$ đồng dạng với nhau.

c) Hai đường thẳng $B C$ và $E F$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh ba điểm $A, \, I, \, K$ thằng hàng.