=56.64 nha bn

\(4,15+3,8+33,45+15,24\)

\(=\left(4,15+33,45\right)+3,8+15,24\)

\(=37,6+15,24+3,8\)

\(=52,84+3,8\)

\(=56,64\)

Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được:

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) với mọi số thực  \(x,y,z\)

Ta có:

\(xy+yz+xz\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

nên suy ra được   \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)  \(\left(i\right)\)

Giả sử tồn tại số thực  \(t\) nào đó sao cho thỏa mãn  \(t^2=x^2+y^2+z^2\)  

\(\Rightarrow\)  \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Khi đó, bđt  \(\left(i\right)\)  được biểu diễn lại dưới dạng ẩn số  \(t\)  như sau:

\(\left(i\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(t\ge\frac{1}{\sqrt{t}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(t\sqrt{t}\ge1\) \(\Leftrightarrow\)  \(\sqrt{t^3}\ge1\)  \(\Leftrightarrow\)  \(t^3\ge1\)  \(\Leftrightarrow\)  \(t\ge1\)  \(\left(ii\right)\)

\(------------\)

Bên cạnh đó, ta lại có:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge x^2+y^2+z^2+\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

nên  \(\left(x+y+z\right)^2\ge t^2+\frac{2}{t}\)

Giả sử tồn tại một số  \(y\)nào đó thỏa mãn  \(t^2+\frac{2}{t}\ge y\)  (với  \(y\in R\)  )

\(\Rightarrow\)  \(\left(x+y+z\right)^2\ge y\)

Mặt khác, từ  \(\left(ii\right)\)  ta suy ra được \(\hept{\begin{cases}t^2\ge1\\t-1\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}\)  \(\hept{\begin{cases}t^2\ge1\\2t-2\ge0\end{cases}}\)

Lúc đó, ta thiết lập được một bđt mới sau:

\(t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge y\)

Mà  \(t^2\ge1\)  và  \(2t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}=4\)  (bđt Cauchy loại hai cho bộ số gồm hai số không âm)

\(\Rightarrow\)  \(t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge1+4-2=3\)

Ta dễ dàng suy ra được  \(y=3\)

Do đó,  \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\)  hay nói cách khác,  \(x+y+z\ge\sqrt{3}\)  (đpcm)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\left(i\right)\Rightarrow\)  \(t^2\ge\frac{1}{t}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(t^3\ge1\)  \(\Leftrightarrow\)  \(t\ge1\)  \(\left(ii\right)\)

Bằng chứng : sự bất bình đẳng này tương đương với

Thông báo rằng

vì thế

Do đó, nó đủ để chứng minh rằng

Và điều này tương đương với

Trên đây là sự thật bởi vì

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+....+a^2+a+1\right)\)

để thu gọn biểu thức rồi lập hiệu A - B để so sánh

Biết chết liền

Gọi phân số đó là \(\frac{\overline{abc}}{a+b+c}=k\) (Coi k như là tỉ số)

Ta có : \(k=\frac{\overline{abc}}{a+b+c}=\frac{\left(a+b+c\right)+9\left(11a+b\right)}{a+b+c}=1+\frac{99a+9b}{a+b+c}\)

Do đó, để k đạt giá trị lớn nhất thì c đạt giá trị nhỏ nhất => c = 0

Khi đó : \(k=1+\frac{99a+9b}{a+b}=1+\frac{9\left(a+b\right)+90a}{a+b}=10+\frac{90a}{a+b}\)

Để k đạt giá trị lớn nhất thì b đạt giá trị nhỏ nhất  => b = 0

Khi đó : \(k=10+\frac{90a}{a}=100\)

Vậy giá trị lớn nhất của phân số đó là 100

xét số dư của a, b khi chia cho 5 là: 0,1,2,3,4.
ta ghép cặp dần (0,0) (0,1),(0,2)...(3,4) thì chỉ có cặp (0,0) mới đảm bảo \(a^2+b^2+ab\)mới chia hết cho 5.
vậy a, b sẽ có tận cùng là 0 hoặc 5.
nếu a,b có cùng có chữ số tận cùng là 5 loại vì: \(a^2+b^2+ab\)là số lẻ không chia hết cho 2.
nếu a có  chữ số tận cùng bằng 5, b chữ số có tận cùng bằng 0 thì \(a^2+b^2+ab\)là số lẻ nên không chia hết cho 2. (loại vì \(a^2+b^2+ab\)chia hết cho 10).
a, b có chữu số tận cùng bằng 0 khi đó \(a^2+b^2+ab\)là số chẵn nên chia hết cho 2(thỏa mãn).
do a, b có chữ số tận cùng bằng 0 nên \(a^2,b^2,ab\)sẽ có tận cùng là 100 nên \(a^2+b^2+ab\)chia hết cho 100.

\(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 10

=> \(a^2+b^2+ab\) chia hết cho 2 và 5

\(a^2+b^2+ab=\left(a^2+b^2+2ab\right)-ab\)

\(=\left(a+b\right)^2-ab\)

Vì \(\left(a+b\right)^2;ab\) chia hết cho 2

=> \(\left(a+b\right)^2;ab\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ

(+) Nếu \(\left(a+b\right)^2;ab\) (1)

=> a và b cùng lẻ

=> a+b chẵn ( mâu thuẫn với (1) )

=> a và b cùng là số chẵn

Để \(=\left(a+b\right)^2-ab\) chia hết cho 5 thì (a+b)^2 và ab có cúng số dư khi chia cho 10

Mình chỉ biết đến đó

Mà cũng ko chắc là đúng

Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2k−1 và 2k+1, với k là số tự nhiên.

Tổng các bình phương của hai số lẻ liên tiếp là: (2k−1)2+(2k+1)2=4k2−4k+1+4k2−4k+1=8k2+2

Tổng trên chia cho 4 dư 2; Vậy nó không thể là số chính phương (Số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1)

Vì a và b là số lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m\(\in\)N)
=> a² + b² = (2k + 1)² + (2m + 1)²
= 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1
= 4(k² + k + m² + m) + 2
=> a² + b² không thể là số chính phương .