\(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x^2-y=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-3\\x^2-x=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-3\\\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3,y=0\\x=-2,y=-5\end{cases}}\)

Gọi số tiền phải trả cho loại hàng thứ I và II nếu không tính thuế nhập khẩu là \(x,y\left(x,y>0\right)\)(đơn vị: triệu đồng)

Nếu kể cả thuế nhập khẩu 9% với loại hàng thứ I và 11% đối với loại hàng thứ II thì giá tiền phải trả là 2,21 triệu đồng nên ta có phương trình: \(x+9\%x+y+11\%y=2,21\)\(\Leftrightarrow x+\frac{9}{100}x+y+\frac{11}{100}y=2,21\)\(\Leftrightarrow\frac{109}{100}x+\frac{111}{100}y=2,21\)\(\Leftrightarrow109x+111y=221\)(1)

Nếu kể thuế nhập khẩu là 10% với mỗi loại hàng thì giá tiền phải trả là 2,2 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(x+10\%x+y+10\%y=2,2\)\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{10}x+y+\frac{1}{10}y=2,2\)\(\Leftrightarrow\frac{11}{10}x+\frac{11}{10}y=2,2\)\(\Leftrightarrow x+y=2\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}x+y=2\\109x+111y=221\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2-x\\109x+111\left(2-x\right)=221\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2-x\\109x+222-111x=221\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2-x\\2x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}=0,5\\y=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5\end{cases}}\)(nhận)

Vậy nếu không tính thuế nhập khẩu thì giá tiền phải trả cho mặt hàng thứ I là 500 nghìn đồng, giá tiền phải trả cho mặt hàng thứ hai là 1,5 triệu đồng.

a/ 

Ta có

AC=MC; BD=MD (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì kc từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

=> MC=MD=CD=AC+BD (đpcm)

b/

Ta có 

\(AM\perp OC;BM\perp OD\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)

\(\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{AMB}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mà \(\widehat{AMB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{COD}=90^o\) => tg OCD là tg vuông

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)

\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=9+\frac{7}{\frac{1}{3}}=30\)

Theo bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}>\frac{9}{ab+bc+ac}.\)

\(VT>\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}\)

\(VT>\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy 

\(ab+bc+ac< \frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)

\(\frac{7}{ab+bc+ac>21}\left(1\right)\)

Theo bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}>\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Từ (1) và (2)

\(VT>21+9=30\left(đpcm\right)\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

b) Gọi M là trung điểm DE.

\(\Delta ODE\)vuông tại O (vì \(\widehat{DOE}=90^0\)), có M là trung điểm DE 

\(\Rightarrow\)M là tâm đướng tròn ngoại tiếp \(\Delta ODE\)(với đường kình DE)

\(\Rightarrow\)O thuộc đường tròn đường kình DE hay \(O\in\left(M\right)\)

Dễ thấy AD//BE \(\left(\perp AB\right)\)\(\Rightarrow\)Tứ giác ABED là hình thang

Xét hình thang ABED (AD//BE) có O, M lần lượt là trung điểm của AB, DE 

\(\Rightarrow\)OM là đường trung bình của hình thang ABED

\(\Rightarrow\)OM//AD, mà \(AD\perp AB\)(DA là tiếp tuyến tại A của (O))

\(\Rightarrow AB\perp OM\)tại O

Mà \(O\in\left(M\right)\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)AB là tiếp tuyến của (M) hay đường tròn đường kính DE (đpcm)

Mình không vẽ hình vì sợ duyệt, không hiện lên được. Mình cũng sẽ chia bài này thành 3 câu trả lời cho 3 câu a,b,c cho ngắn. Để dài quá nó cũng bảo duyệt.

a) Xét đường tròn (O) có 2 tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại D (gt) \(\Rightarrow AD=CD\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Tương tự, ta có \(BE=CE\)(2)

Vì \(C\in DE\left(gt\right)\)\(\Rightarrow CD+CE=DE\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow AD+BE=DE\)(đpcm thứ nhất)
Đồng thời, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có OD, OE lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{AOC},\widehat{BOC}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DOC}=\frac{\widehat{AOC}}{2}\\\widehat{EOC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\widehat{DOE}=\widehat{DOC}+\widehat{EOC}=\frac{\widehat{AOC}+\widehat{BOC}}{2}=\frac{180^0}{2}=90^0\)(đpcm thứ hai)

a) Xét đường tròn (O; R) có I là trung điểm của dây AB

=> OI ⊥ AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

=> ΔMIO vuông tại I => I, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

ΔMCO vuông tại C => C, M, O cùng thuộc đương tròn đường kính OM

ΔMDO vuông tại D => D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=> I, M, O, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Xét ΔKOD và ΔKMI có: ˆKDO=ˆKIMKDO^=KIM^ (=90^o)

                                           ˆOKMOKM^ chung

=> ΔKOD ~ ΔKMI (g.g) => KOKM=KDKIKOKM=KDKI => KO.KI = KD.KM

c) Xét đường tròn (O; R), tiếp tuyến MC, MD => MO là phân giác ˆCMDCMD^; MD = MC

Lại có OC = OD = R => OM là trung trực của CD hay OM ⊥ CD.

Mà CD // EF => OM ⊥ EF. Lại có MO là phân giác ˆCMDCMD^ 

=> ˆCMO=ˆDMOCMO^=DMO^ => ΔEMO = ΔFMO (g.c.g)

=> S_EMO = S_FMO =1212S_EMF

Để S_EMF nhỏ nhất thì S_EMO nhỏ nhất

=> 1212EM.OC = 1212.R.EM nhỏ nhất => EM nhỏ nhất (do R cố định)

Ta có: EM = EC + CM ≥ 2√EC.CMEC.CM=2R (BĐT Cô-si)

Dấu "=" xảy ra ⇔ EC = CM => OC = CE = CM (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) => ΔCMO vuông cân tại C => OM = OC√22 =R√22

Vậy để S_EMF nhỏ nhất thì M là giao điểm của (d) và (O; R√22)