Đây là lấy vị chia

Có : AC vuông góc với BD (hình vuông ABCD)

       SA vuông góc với BD ( do SA vuông góc với mp ABCD)

=> BD vuông góc với mp SAC...

0

74630:243

o

o

0

1

Ta có

\(\left(SBC\right)\perp\left(ABC\right)\left(gt\right)\)

\(B\in\left(SBC\right);B\in\left(ABC\right);C\in\left(SBC\right);C\in\left(ABC\right)\) => BC là giao tuyến của (SBC) và (ABC)

\(AB\perp BC\left(gt\right);AB\in\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SBC\right)\Rightarrow SC\perp AB\) (1)

Từ S hạ \(SD\perp BC\) Xát tg vuông SBD có

\(\widehat{SBC}=30^o\Rightarrow SD=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

\(\Rightarrow\widehat{BSD}=90^o-\widehat{SBC}=90^o-30^o=60^o\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{SB^2-SD^2}=\sqrt{12-3}=3=AB\)

\(\Rightarrow CD=BC-BD=4-3=1\)

Xét tg vuông SDC có

\(\tan\widehat{DSC}=\dfrac{CD}{SD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{DSC}=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BSC}=\widehat{BSD}+\widehat{DSC}=60^o+30^o=90^o\Rightarrow SC\perp SB\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow SC\perp\left(SAB\right)\)

Trong mp (SAB) dựng \(BH\perp SA\) (3)

\(\Rightarrow SC\perp BH\)(4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\) => BH là khoảng cách từ B đến (SAC)

Ta có 

\(AB\perp\left(SBC\right)\left(cmt\right)\Rightarrow AB\perp SB\) xét tg vuông SAB có

\(SA=\sqrt{AB^2+SB^2}=\sqrt{9+12}=\sqrt{21}\) (pitago)

\(AB^2=AH.SA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{SA}=\dfrac{9}{\sqrt{21}}=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow SH=SA-AH=\sqrt{21}-\dfrac{3\sqrt{21}}{7}=\dfrac{4\sqrt{21}}{7}\)

Ta có

\(BH^2=AH.SH\) (Trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông băng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow BH^2=\dfrac{3\sqrt{21}}{7}.\dfrac{4\sqrt{21}}{7}=\dfrac{12.21}{49}=\dfrac{4.3.3.7}{7^2}\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{6\sqrt{7}}{7}\)