Điều kiện xác định \(-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\) và \(x\ne0\).
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a ta có:
\(\left(x+\sqrt{2-x^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+2-x^2\right)=4\).
Suy ra \(-2\le x+\sqrt{2-x^2}\le2\).
Áp dụng bất dẳng Cô-si ta có: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\).
Suy ra \(VT\le2,VT\ge2\), Suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{2-x^2}=2\\x^2+\frac{1}{x^2}=2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=1\).

 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\Leftrightarrow a+b=ab\).
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\) \(a+b=a-1+b-1+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=2\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=1\)\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\)\(\Leftrightarrow a+b=ab\) (luôn đúng).
Ta hoàn thành chứng minh.

Giả sử \(2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^3b-ab^3-2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) \(\forall a;b\)                   \(\left(1\right)\)

Lại có: \(a^2-ab+b^2=\left(a^2-2.a.\frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}\)

                                         \(=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\) \(\forall a;b\)                          \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra  \(\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a;b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\forall a;b\)

Vậy \(2\left(a^4+b^4\right)\ge a^3b+ab^3+2a^2b^2\) với mọi a;b

Xác xuất là 10% vì để cả 2 đông cơ hỏng là 50%+40%=90% nên chỉ có 10% khả năng về đc đích