1: \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{2}{5}\)

\(\dfrac{DN}{DF}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\)

Do đó: \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\)

2: Xét ΔDEF có \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\)

nên MN//EF

Ta thấy: \(2024\equiv1\) (\(mod\) \(2023\))
\(20242024\equiv1909\) (\(mod\) \(2023\))
...
\(2024...2024:2023\) dư một số nào đó là một trong các số từ \(1\) đến \(2022\) (\(2023\) số).
* Xét \(2024\) số: \(2024;20242024;...;20242024...2024\) (Gồm \(2024\) bộ số \(2024\))
 + Lấy \(2024\) số trên chia cho \(2023\), ta có \(2024\) số dư từ \(0\) đến \(2022\).
\(\Rightarrow\) Tồn tại hai số chia cho \(2023\) có cùng số dư.
Giả sử hai số đó là \(a=2024...2024\) (\(i\) bộ số \(2024\)) và \(b=2024...2024\) (\(j\) bộ số \(2024\)) \(\left(1\le i\le j\le2024\right)\)
+ \(a-b=2024...2024\cdot10^{4i}\) (\(j-i\) bộ số \(2024\)) chia hết cho \(2023\)
+ \(ƯCLN\left(10^{4i};2023\right)=1\)
\(\Rightarrow2024...2024\) (\(j-i\) bộ số \(2024\)) chia hết cho \(2023\) \(\left(đpcm\right)\).

\(x^4-3x+2=x\left(x^3+ax^2+bx-2\right)-\left(x^3+ax^2+bx-2\right)\)

\(\Rightarrow x^4-3x+2=x^4+\left(a-1\right)x^3+\left(b-a\right)x^2-\left(b+2\right)x+2\)

Đồng nhất hệ số 2 vế ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-a=0\\b+2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=1\)

\(x^4-3x+2=\left(x-1\right)\left(x^3+ax^2+bx-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-2\right)=\left(x-1\right)\left(x^3+ax^2+bx-2\right)\)
\(\Rightarrow x^3+x^2+x-2=x^3+ax^2+bx-2\)
\(\Rightarrow1\cdot x^2+1\cdot x=ax^2+bx\)
\(\Rightarrow a=1\) và \(b=1\)

\(B=3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3\\\Rightarrow4A=12x^2+12y^2+4z^2+20xy-12yz-12xz-8x-8y+12\\\\=[(9x^2+18xy+9y^2)-(12xz+12yz)+4z^2]+[(2x^2+4xy+2y^2)-(8x+8y)+8]+(x^2-2xy+y^2)+4\\=[(3x+3y)^2-2\cdot(3x+3y)\cdot2z+(2z)^2]+[2(x^2+2xy+y^2)-8(x+y)+8]+(x-y)^2+4\\=(3x+3y-2z)^2+2[(x+y)^2-4(x+y)+4]+(x-y)^2+4\\=(3x+3y-2z)^2+2(x+y-2)^2+(x-y)^2+4\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+3y-2z\right)^2\ge0\forall x,y,z\\2\left(x+y-2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y-2z\right)^2+2\left(x+y-2\right)^2+\left(x-y\right)^2+4\ge4\forall x,y,z\)

\(\Leftrightarrow4B\ge4\Leftrightarrow B\ge1\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+3y-2z=0\\x+y-2=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=x\\2x=2\\2z=6x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(Min_B=1\) khi \(x=y=1;z=3\).

\(Toru\)

a: Xét ΔBAC có AM là phân giác

nên \(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{a}{b}\)

=>\(\dfrac{BM}{a}=\dfrac{MC}{b}\)

mà BM+MC=BC=a

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BM}{a}=\dfrac{MC}{b}=\dfrac{BM+MC}{a+b}=\dfrac{a}{a+b}\)

=>\(BM=\dfrac{a\cdot a}{a+b}=\dfrac{a^2}{a+b}\)

Xét ΔBCA có CN là phân giác

nên \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BC}{CA}\)

=>\(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{a}{b}\)

=>\(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BM}{MC}\)

Xét ΔBAC có \(\dfrac{BN}{NA}=\dfrac{BM}{MC}\)

nên MN//AC

b: Xét ΔBAC có MN//AC

nên \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\)

=>\(\dfrac{MN}{b}=\dfrac{a^2}{a+b}:a=\dfrac{a}{a+b}\)

=>\(MN=\dfrac{a\cdot b}{a+b}\)

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

2x-4=x+4

=>2x-x=4+4

=>x=8

Thay x=8 vào y=x+4, ta được:

y=8+4=12

Vậy: Q(8;12)

Tọa độ N là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\cdot0-4=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy: N(0;-4)

Tọa độ M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0+4=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: M(0;4)

M(0;4); N(0;-4); Q(8;12)

\(MN=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-4-4\right)^2}=8\)

\(MQ=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(12-4\right)^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\)

\(NQ=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(12+4\right)^2}=\sqrt{8^2+16^2}=8\sqrt{5}\)

Xét ΔMNQ có \(cosMNQ=\dfrac{NM^2+NQ^2-MQ^2}{2\cdot NM\cdot NQ}=\dfrac{256}{2\cdot8\cdot8\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

=>\(sinMNQ=\sqrt{1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Diện tích ΔMNQ là:

\(S_{MNQ}=\dfrac{1}{2}\cdot NM\cdot NQ\cdot sinMNQ\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot8\cdot8\sqrt{5}=\dfrac{64}{2}=32\)

a: Để \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{\left|x\right|-2}\) có nghĩa thì \(\left|x\right|-2\ne0\)

=>\(\left|x\right|\ne2\)

=>\(x\in R\backslash\left\{2;-2\right\}\)

b: Để \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x+3}\) có nghĩa thì \(\left\{{}\begin{matrix}2-x\ne0\\x+3\ne0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)

\(E=2\left(x^2+4xy+4y^2\right)+3y^2-4x-2y+6\)

\(=2\left(x+2y\right)^2-4\left(x+2y\right)+2+3y^2+6y+3+1\)

\(=2\left(x+2y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2+1\ge1\)

\(E_{min}=1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

a) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABM, ta có:

\(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB}\)

 Tương tự, ta có \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{MA}{MC}\)

 Nhưng vì AM là trung tuyến của tam giác ABC \(\Rightarrow MB=MC\)  nên ta có \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}\) . Áp dụng định lý Thales đảo \(\Rightarrow\) DE//BC (đpcm)

 b) Áp dụng định lý Thales cho tam giác ABM, ta có:

 \(\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{DI}{BM}\) 

 Tương tự, ta có \(\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{EI}{CM}\)

 Do đó: \(\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{EI}{CM}\)

 Mà \(BM=CM\Rightarrow EI=DI\) \(\Rightarrow\) I là trung điểm DE (đpcm)

ca) Hàm số đi qua điểm M(1;3) ta thay x = 1 và y = 3 ta có: 

\(3=a\cdot1+2\Leftrightarrow a+2=3\Leftrightarrow a=3-2\Leftrightarrow a=1\)

b) Hàm số cắt Ox tại: \(\left(-2;0\right)\)  

                       Oy tại: \(\left(0;2\right)\) 

c) Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A, với trục Oy là B 

Ta có: \(OA=OB=2\Rightarrow\Delta OAB\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{BAO}=\dfrac{180^o-90^o}{2}=45^o\)