vì a,b,c\(\in\left[0;1\right]\)

=>(1)\(b^2\le b;c^3\le c\Rightarrow a+b^2+c^3\le a+b+c\Rightarrow a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\)

mà \(a,b,c\in\left[0;1\right]\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)

=>\(abc+a+b+c-ab-bc-ca-1\le0\)

=>\(a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\left(vi:abc\ge0\right)\) (2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Dấu = xảy ra <=>2 số = 0  và 1 số = 1 hoặc 2 số = 1 và 1 số = 0

^_^

ta có BĐT cần chứng minh 

<=>\(2a^8+2b^8\ge a^8+b^8+a^3b^5+a^5b^3\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^3b^5+a^5b^3\)

Áp dụng bđt cô-si, ta có \(a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+b^8+b^8\ge8a^3b^5\)

tương tự, ta có \(5.a^8+3b^8\ge8a^5b^3\)

+ 2 vế của 2 bđt , ta có \(8\left(a^8+b^8\right)\ge8\left(a^3b^5+a^5b^3\right)\Rightarrow a^8+b^8\ge a^3b^5+a^5b^3\)

=> BĐT  cần phải chứng minh luôn đúng 

dấu = xảy ra <=> a=b>0

^_^

Ta có:

\(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=-b;b=-c;c=-a\)

Với \(a=-b\)ta có

\(a^3+b^3+c^3=1\)

\(\Leftrightarrow c^3=1\)

\(\Leftrightarrow c=1\)

Thì ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1\)

Tương tự cho 2 trường hợp còn lại được ĐPCM

lấy pt(1) + pt(2), ta có 

\(3x+2z=16\)(4)

lấy  2.pt(2)+pt(3), ta có 

\(7x+3z=24\)(5)

từ (4), (5), ta có hpt sau 

\(\hept{\begin{cases}3x+2z=16\\7x+3z=24\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}9x+6z=48\\14x+6z=48\end{cases}}\)

từ 2 vế của 2 pt => x=0 và tính được z=8=>y=3

^_^

BĐT Bunhiacopxki: 

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành:

(ad – bc)² ≥ 0

Dấu " = " xảy ra khi    

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

http://congthuc.edu.vn/bat-dang-thuc-bunhiacopxki/

\(\hept{\begin{cases}x+y=1999\\y-x=1912\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1999-x\\1999-x-x=1912\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1999-x\\1999-2x=1912\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1999-x\\2x=1999-1912\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1999-x\\2x=87\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=43,5\\y=1999-43,5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=43,5\\y=1955,5\end{cases}}\)

vậy...

cộng  giả thiết lại ta có:

x+y+y-x=1999+1912

=>2y=3911

=>y=1955,5

theo giả thiết y-x=1912, thay y vào ta có:

1955,5-x=1912

=>x=1955,5-1912=43,5