cho a,b,c là số thực dương, tìm max: \(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho ba số tự nhiên A; B và C có tổng là 5850, trong đó số A bé hơn số B là 15 đơn vị, số B bé hơn số C là 30 đơn vị. Tìm số C.
Trả lời: Số C là
Có : A = a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc-abc
= a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+abc
= (a^2b+ab^2+abc)+(b^2c+bc^2+abc)+(c^2a+ca^2+abc)-2abc
= (a+b+c).(ab+bc+ca)-2abc
Vì a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c).(ab+bc+Ca) chia hết cho 4 và a+b+c chẵn
a+b+c chẵn => trong 3 số a,b,c có 1 nhất 1 số chẵn vì nếu cả 3 số đều lẻ thì a+b+c lẻ
=> abc chia hết chi 2 => 2abc chia hết cho 4
=> A chia hết cho 4
=> ĐPCM
Tk mk nha
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Do \(a+b+c=1\)
nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Do \(a+b+c=1\)
nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
ÁP DỤNG BĐT COSI TA CÓ :\(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\le\frac{a}{b+c+2a}+\frac{1}{4}\)
\(\sqrt[]{\frac{b}{a+c+2b}}\le\frac{b}{a+c+2b}+\frac{1}{4}\)
\(\sqrt[]{\frac{c}{a+b+2c}}\le\frac{c}{a+b+2c}+\frac{1}{4}\)
ĐẶT A=\(\sqrt[]{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt[]{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt[]{\frac{c}{a+b+2c}}\)
\(\le\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c}+\frac{3}{4}\)
ÁP DỤNG BĐT :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+c+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)+\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{3}{2}\)
DẤU = XẢY RA\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Một lời giải khác:
\(\left(\Sigma\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}\right)^2=\left(\Sigma\sqrt{\frac{a\left(a+2c+b\right)}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}}\right)^2\)
\(\le\left[\Sigma a\left(a+2c+b\right)\right]\left[\Sigma\frac{1}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}\right]=\Sigma\frac{a^2+3ab}{\left(a+2c+b\right)\left(b+c+2a\right)}\)
\(=\frac{4\left(\Sigma a^2+3\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\right)}{\Pi\left(a+2c+b\right)}\)
Cần chứng minh \(\frac{4\left(\Sigma a^2+3\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\right)}{\Pi\left(a+2c+b\right)}\le\frac{9}{4}\)
Chịu khó quy đồng :V