Ta thấy  x và y ko đều 

1 x 1_³ 

Các cạnh bằng nhau

Gọi \(BC\) cắt \(\left(O;r\right)\) lần thứ hai tại \(N\), \(CD\) là đường kính của \(\left(O;R\right)\)

Do hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(BC\) là trung điểm của \(MN,BC\) nên \(MB=NC\)

Tính đối xứng tâm của đường tròn nên \(NC=AD,NC||AD\) hay \(MB=||AD\)

Suy ra \(AM=DB\). Ta biến đổi:

\(MA^2+MB^2+MC^2=MA^2+\left(MB+MC\right)^2-2MB.MC\)

\(=DB^2+BC^2-2\left(R^2-OM^2\right)=\left(2R\right)^2-2\left(R^2-r^2\right)=2\left(R^2+r^2\right)\)

2n + 1 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1 => n chẵn => 3n+1 là số chính phương lẻ, số này chia cho 8 dư 1 nên 3n chia hết cho 8, do đó n chia hết cho 8 (1).

Cách 1. 3n + 1 tận cùng 1, 5, 9 => 3n tận cùng 0, 4, 8 => n tận cùng 0, 8, 6. Loại trường hợp n tận cùng 8 (vì khi đó 2n + 1 tận cùng 7, không là số chính phương), loại trường hợp n tận cùng 6 (vì khi đó 2n + 1 tận cùng 3, không là số chính phương). Vậy n tận cùng 0 (2).

Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40.

Cách 2. 2n + 1, 3n + 1 là các số chính phương lẻ nên tận cùng bằng 1, 5, 9 do đó chia cho 5 dư 1, 0, 4. Tổng của chúng là 5n + 2 nên mỗi số 2n + 1 và 3n + 1 đều chia cho 5 dư 1, do đó 2n và 3n đều chia hết cho 5, vậy n chia hết cho 5(3).

Từ (1) và (3), suy ra n chia hết cho 40

Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2021}\) \(\Rightarrow2011x+2011y=xy\)

                                          \(\Leftrightarrow2011\left(x+y\right)=xy\)

Ta có : \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-2011}+\sqrt{y-2011}\)

 \(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}=\left(\sqrt{x-2011}+\sqrt{y-2011}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x+y=x-2011+y-2011+2\sqrt{\left(x-2011\right)\left(y-2011\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(xy-2011\left(x+y\right)\right)+2011^2}=2.2011\)

\(\Leftrightarrow xy-2011\left(x+y\right)+2011^2=2011^2\)

\(\Leftrightarrow xy-xy+2011^2=2011^2\)( Do \(2011\left(x+y\right)=xy\))

\(\Leftrightarrow2011^2=2011^2\)

\(\Leftrightarrow0=0\)( Đẳng thức được c/m )

do tc chất đường trung tuyến trong tam giác vuông đó bạn ( lên mạng sợt nhé ) 

a, Vì CD = BD ( 2 cạnh tương ứng ) 

AC = AB ( 2 cạnh tương ứng ) 

=> AD là trung trực đoạn BC => CH = BC/2 = 4 cm 

Xét tam giác ACD vuông tại C, đường cao CH 

* Áp dụng hệ thức \(CH^2=AH.HD\Rightarrow HD=\frac{CH^2}{AH}=\frac{16}{2}=8cm\)

AD = HD + AH = 8 + 2 = 10 cm 

Hay độ dài đường kính đường tròn đi qua các điểm A;B;C;D là 10 cm 

ĐK: \(x\ge\frac{5}{2}\).

\(\sqrt{x+2-3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4-6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4+2\sqrt{2x-5}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-5-2.3.\sqrt{2x-5}+9}+\sqrt{2x-5+2.1.\sqrt{2x-5}+1}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+1\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-5}-3\right|+\left|\sqrt{2x-5}+1\right|=4\)(1) 

Nếu \(\sqrt{2x-5}\ge3\Leftrightarrow x\ge7\): (1) tương đương với:

\(\sqrt{2x-5}-3+\sqrt{2x-5}+1=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-5}=3\Leftrightarrow x=7\)(thỏa mãn) 

Nếu \(\sqrt{2x-5}< 3\Leftrightarrow\frac{5}{2}\le x< 7\): (1) tương đương với:

\(3-\sqrt{2x-5}+\sqrt{2x-5}+1=4\)

\(\Leftrightarrow4=4\)(luôn đúng) 

Vậy phương trình có nghiệm là \(\frac{5}{2}\le x\le7\).

Gọi chiều dài chiều rộng thửa ruộng lần lượt a ; b ( a > b>  0 ) 

Theo bài ra ta có hpt \(\hept{\begin{cases}2\left(a+b\right)=100\\\left(a+5\right)\left(b-2\right)=ab+30\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=50\\-2a+5b=40\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=30\\b=20\end{cases}}}\)(tm) 

Vậy chiều dài ban đầu là 30 m 

chiều rộng ban đầu là 20 m 

Đổi 8h20′=8/13h

Gọi khoảng cách từ nhà An tới nhà Bình là x (km, x > 0)

Khi Bình bắt đầu đi thì An đã đi được số ki-lô-mét là:  (8/13−8).4=4/3(km)

Tổng vận tốc của hai bạn là : 4 + 3 = 7 (km)

Thời gian để hai bạn gặp nhau kể từ khi Bình đi là:  x−4/37=3

Khi đó quãng đường Bình đi được là: 3.3x−421=3x−4/7(km)

Sau khi hai bạn gặp nhau thì lại quay về nhà Bình nên quãng đường Bình đi là: 3x−47.2=6x−8/7(km)

m)

An đi tới nhà Bình rồi quay lại nhà mình nên quãng đường An đi bằng 2 lần khoảng cách giữa nhà hai bạn và bằng 2x Theo bài ra ta có phương trình:

2x=4.(6x−87)2x=4.(6x−87)

⇔14x=24x−32⇔x=3,2(km)

Vậy khoảng cách từ nhà An tới nhà Bình là 3,2 km.

TL:

khoảng cách từ nhà An tới nhà Bích là 3,2 km.

HT