bớt xàm đc ko tth?

Đặt \(a=\frac{x}{3};b=\frac{y}{3};c=\frac{z}{3}\)=> \(x+y+z=3\)

=> Cần Cm: \(x^2y+y^2z+z^2x\le4\)

Giả sử \(x\ge y\ge z\)

=> \(z\left(x-y\right)\left(y-z\right)\ge0\)

=> \(xyz+z^2y\ge y^2z+z^2x\)

Khi đó BĐT 

<=> \(xyz+z^2y+x^2y\le4\)

<=> \(y\left(x^2+z^2+xz\right)\le4\)

<=>\(y.\left[\left(3-y\right)^2-xz\right]\le4\) 

Do \(xz\ge0\)

=> \(y\left(3-y\right)^2\le4\)

<=> \(y^3-6y^2+9y-4\le0\)

<=> \(\left(y-4\right)\left(y-1\right)^2\le0\)luôn đúng do \(y< 3< 4\)

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2;y=1;z=0\)và các hoán vị

=> \(a=\frac{2}{3};b=\frac{1}{3};c=0\)và các hoán vị

Đề cần cm \(\Leftrightarrow bc\le2c^2-b^2\)

 \(\Leftrightarrow2c^2-b^2-bc\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(c+b\right)\left(c-b\right)+c\left(c-b\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(2c+b\right)\le0\)

Luôn đúng

Bui Huyen nhìn chị giải mà em thấy cách mình giải trâu bò quá:( Em sáng tác tưởng khó ai ngờ..

Ta có: \(ab+bc+ca=\left(a-b\right)b+\left(b-c\right)\left(b+c\right)+c\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\left(a-b\right)b+c\left(a+b+c\right)\)\(\ge\left(a-b\right)b+c\left(a+2c\right)\)

\(=2c^2+ac-b^2+ab\).

Cách em là thế đó

a) Xét tứ giác AQCP có : 

M là trung điểm PQ ( Q là điểm đối xứng với P qua M )

M là trung điểm AC 

=> AQCP là hình bình hành 

Vì AP\(\perp\)BC 

=> AQCP là hình chữ nhật 

b) Vì AQCP là hình chữ nhật

=> AQ = PC 

=> AQ//PC 

=> AQ//BP ( P\(\in\)BC )

Vì ∆ABC cân tại A 

Mà AP là đường cao 

=> AP là phân giác và trung trực 

=> PC = PB 

Mà AQ = PC 

=> BP = AQ 

Xét tứ giác AQPB có : 

AQ//BP (cmt)

AQ = BP (cmt)

=> AQPB là hình bình hành 

c) Vì M là trung điểm AC 

MN //BC 

=> N là trung điểm AB 

Xét ∆ABC có : 

N là trung điểm AB 

P là trung điểm BC ( AP là trung tuyến) 

=> NP là đường trung bình ∆ABC 

=> NP//AC 

=> NP//AM ( M \(\in\)BC )

Xét ∆ABC có : 

M là trung điểm AC 

P là trung điểm BC

=> MP là đường trung bình ∆ABC

=> MP//AB

=> MP//NA ( N \(\in\)AB )

Xét tứ giác ANPM có : 

MP//NA (cmt)

AM//NP (cmt)

=> ANPM là hình bình hành 

Mà AP là phân giác BAC (cmt)

=> NAMP là hình thoi

Tứ giác ABCD là hình thang có : AC =BD(gt)

                                               \(\Rightarrow\)Tứ giác ABCD là hình thang cân

- Bạn đọc lại dấu hiệu nhận biết hình thang cân nhé

- Chúc bạn học tốt!!!

Ey sao trên cạnh AE lấy điểm E? Vậy E từ đâu ra? -tth-

ở mình nhầm trên cạnh AB

Bài làm

A B C D

~ Vẽ như thế này mới thỏa mãn yêu cầu của đề bài. ~
@ Đưa nốt đề bài ra mik làm cho. @
# Học tốt #

Đề bài này: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB = BC và BC vuông góc BD

a) Chứng minh rằng AC vuông góc AD

b) Tính số đo các góc của hình thang

c) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Chứng minh rằng điểm O cách đều 2 cạnh bên và đáy lớn

Giúp mình nhé!

Bài í là chưng mấy là môn gì?

chương 1 môn sinh

ta có \(A=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\ge0\)

A B C D M E F K

a) Dễ thấy FM = AE (1) (t/c hình chữ nhật)

Lại có; Trong hình chữ vuông ABCD, hai đường chéo đồng thời là đường p/giác các góc của hình vuông nên

^ADB = 45^o (Tắt tí nhé). Tam giác FDM có một góc vuông và một góc bằng 45^o nên nó vuông cân.

Do đó: FM = FD (2). Từ (1) và (2) suy ra AE = FD  rồi từ đó có \(\Delta\)CDF = \(\Delta\)DAE

Suy ra DE = CF.

b) Gọi giao điểm của DE, BF là K. Ta sẽ chứng minh C, M, K thẳng hàng, từ đó suy ra đpcm.

Thật vậy:(chưa nghĩ ra... bác nào nghĩ tiếp giúp cháu-_-)

Nghĩ ra rồi!!! Nhưng ko chắc đâu, chỗ vẽ đường phụ với chứng minh ý!

b) Qua B vẽ đoạn thẳng BN // KM(3) và bằng KC (4) (N thuộc nửa mặt phẳng bờ BF có chứa C)

Có ngay \(\Delta\)BCK = \(\Delta\)CBN => NC = BK(5). Từ (4) và (5) suy ra BN // KC (6)

Từ (3) và (6) suy ra K, M, C thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit)

Bác nào check giúp với ạ!