a) Giả sử \(D\)không nằm giữa 2 điểm \(A\)và \(C\).

\(8=AC+BD\le CB=5\)(vô lí). 

Do đó  \(D\)nằm giữa 2 điểm \(A\)và \(C\).

b) \(AC+BD=AD+DC+BD=\left(AD+BD\right)+CD=AB+CD\)

\(\Rightarrow CD=AC+BD-AB=8-5=3\left(cm\right)\).

Lùi vô hạn đây rồi:))

G/s \(\left(x;y;z;t\right)=\left(x_1;y_1;z_1t_1\right)\) là 1 nghiệm nguyên của phương trình

Khi đó ta có: \(8x_1^4+4y_1^4+2z_1^4=t_1^4\) (1)

Vì VT(1) chẵn => t₁⁴ chẵn => t₁ chẵn => Đặt \(t_1=2t_2\left(t_2\inℤ\right)\)

Khi đó PT(1) trở thành: \(8x_1^4+4y_1^4+2z_1^4=16t_2^4\Leftrightarrow4x_1^4+2y_1^4+z_1^4=8t_2^4\) (2)

Tương tự khi đó z₁ chẵn => Đặt \(z_1=2z_2\left(z_2\inℤ\right)\)

Khi đó PT(2) trở thành: \(4x_1^4+2y_1^4+16z_2^4=8t_2^4\Leftrightarrow2x_1^4+y_1^4+8z_2^4=4t_2^4\) (3)

=> y₁ chẵn => Đặt \(y_1=2y_2\left(y_2\inℤ\right)\) Khi đó PT (3) trở thành:

\(2x_1^4+16y_2^4+8z_2^4=4t_2^4\Leftrightarrow x_1^4+8y_2^4+4z_2^4=2t_2^4\) (4)

=> x₁ chẵn => Đặt \(x_1=2x_2\left(x_2\inℤ\right)\) Khi đó PT (4) trở thành:

\(16x_2^4+8y_2^4+4z_2^4=2t_2^4\Leftrightarrow8x_2^4+4y_2^4+2z_2^4=t_2^4\) (5)

Từ đó ta lại có: \(\left(x;y;z;t\right)=\left(x_2;y_2;z_2;t_2\right)\) cũng là 1 nghiệm của PT

Cứ như vậy đến một lúc nào đó \(\left(x;y;z;t\right)=\left(x_n;y_n;z_n;t_n\right)\) cũng là 1 nghiệm của PT

(Với n là số tự nhiên, \(\left(x_n;y_n;z_n;t_n\right)=\left(\frac{x_1}{2^{n-1}};\frac{y_1}{2^{n-1}};\frac{z_1}{2^{n-1}};\frac{t_1}{2^{n-1}}\right)\) và n tùy ý)

Khi đó ta thấy PT chỉ có 1 nghiệm duy nhất thỏa mãn tính vô hạn của phương trình đó là: \(x=y=z=t=0\)

Vậy x = y = z = t = 0

Giả sử phương trình có nghiệm \(\left(x_0,y_0,z_0,t_0\right)\).

Ta có: \(8x_0^4+4y_0^4+2z_0^4=t_0^4\)

có \(VT⋮2\Rightarrow t_0^4⋮2\Rightarrow t_0⋮2\Rightarrow t_0=2t_1\)

\(8x_0^4+4y_0^4+2z_0^4=\left(2t_1\right)^4=16t_1^4\)

\(\Leftrightarrow8t_1^4-4x_0^4-2_0^4=-z_0^4\)

có \(VT⋮2\Rightarrow z_0^4⋮2\Rightarrow z_0⋮2\Rightarrow z_0=2z_1\)

\(8t_1^4-4x_0^4-2y_0^4=-z_0^4=-\left(2z_1\right)^4=-16z_1^4\)

\(\Leftrightarrow8z_1^4+4t_1^4-2x_0^4=y_0^4\)

có \(VT⋮2\Rightarrow y_0^4⋮2\Rightarrow y_0⋮2\Rightarrow y_0=2y_1\)

\(8z_1^4+4t_1^4-2x_0^4=y_0^4=\left(2y_1\right)^2=16y_1^4\)

\(\Leftrightarrow-8y_1^4+4z_1^4+2t_1^4=x_0^4\)

có \(VT⋮2\Rightarrow x_0^4⋮2\Rightarrow x_0⋮2\Rightarrow x_0=2x_1\)

\(-8y_1^4+4z_1^4+2t_1^4=x_0^4=\left(2x_1\right)^4=16x_1^4\)

\(\Leftrightarrow8x_1^4+4y_1^4-2z_1^4=t_1^4\)

có \(VT⋮2\Rightarrow t_1^4⋮2\Rightarrow t_1⋮2\Rightarrow t_2=2t_1\)

Cứ tiếp tục như trên. Nếu \(\left(x_0,y_0,z_0,t_0\right)\)là một nghiệm thì \(\left(x_1,y_1,z_1,t_1\right)\)cũng là một nghiệm. 

Như vậy \(x,y,z,t\)chia hết cho \(2^k\)với \(k\)bất kì. Điều này chỉ đúng với \(x=y=z=t=0\).

\(AB^2=AH^2+HB^2=12^2+5^2=13^2\)

\(AC^2=AH^2+HC^2=16^2+5^2=17^2\)

bạn thiếu xét tam giác kìa

                                     

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại H \(\Rightarrow BH^2+AH^2=AB^2\)( định lý Pytago )

\(\Rightarrow AB^2=AH^2+18^2=AH^2+324\)

Xét \(\Delta ACH\)vuông tại H \(\Rightarrow HC^2+AH^2=AC^2\)( định lý Pytago )

\(\Rightarrow AC^2=AH^2+32^2=AH^2+1024\)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A \(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)( định lý Pytago )

\(\Rightarrow AH^2+324+AH^2+1024=\left(BH+CH\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2AH^2+1348=\left(18+32\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2AH^2+1348=50^2=2500\)

\(\Leftrightarrow2AH^2=1152\)\(\Leftrightarrow AH^2=576\)

\(\Rightarrow AC^2=576+1024=1600\)\(\Rightarrow AC=40\)(cm)

Vậy \(AC=40cm\)

\(\Rightarrow AC=5\sqrt{46}\)( cm )

a) Ta có: \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2\)nên theo định lý Pythagore đảo thì tam giác \(ABC\)là tam giác vuông. 

b) \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

c) \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=6,8\left(cm\right)\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=3,6\left(cm\right)\)

\(CH=BC-BH=10-3,6=6,4\left(cm\right)\)

                             

Kẻ \(AH\perp BC\)

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại H có \(\widehat{B}=60^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAH}=90^o-60^o=30^o\)

Áp dụng nhận xét: trong 1 tam giác vuông, cạnh đối diện với góc \(30^o\)bằng \(\frac{1}{2}\)cạnh huyền

Ta có: \(\Delta ABH\)vuông tại H có \(\widehat{BAH}=30^o\)

\(\Rightarrow BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.5=2,5\)( cm )

\(\Rightarrow CH=BC-BH=8-2,5=5,5\)( cm )

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại H \(\Rightarrow AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2=5^2-2,5^2=18,75\)

Xét \(\Delta ACH\)vuông tại H \(\Rightarrow AH^2+HC^2=AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=18,75+5,5^2=18,75+30,25=49\)

\(\Rightarrow AC=7cm\)

Vậy \(AC=7cm\)

câu a Do tam giác AFE có AH vừa là tia phân giác vừa là đường cao nên AFE cân tại A

b. Do KB song song với FE mà tam giác AFE cân tại A nên AKB cũng cân tại A

do đó KF=KA-AF=AB-AE=BE do đó ta có đpcm

c. DO FM//KB mà M lại là trung điểm của BC nên F là trung điểm CK do đó ta có 

\(AC+AB=AC+AK=AF-FC+AF+KF=2AF=2AE\)