Cho hình vuông ABCD , trên cạnh CD lấy điểm E , trên tia dối của tia BC lấy điểm F sao cho DE=BF=DC.

a) Chứng minh rằng AE=AF và góc EAF=90o

b) Đường thẳng qua F vuong góc với AC cắt AD,CD lần lượt tại I,M.Chứng minh rằng BDMF là hình thang cân và E là trung điểm của CM

c) CI cắt AF tại N. Chứng minh rằng tam giác NAI= tam giác AEM và NM song song AC

xɪɴ ʜᴜᴏ̛́ɴɢ ᴅᴀ̂̃ɴ ᴄᴀ́ᴄʜ ʟᴀ̀ᴍ ʙᴀ̀ɪ ᴠᴇ̂̀ ʜᴇ̣̂ ʙᴀ̂́ᴛ ᴘʜᴜᴏ̛ɴɢ ᴛʀɪ̀ɴʜ ᴠᴀ̀ ᴍɪᴇ̂̀ɴ ɴɢʜɪᴇ̣̂ᴍ. ᴄᴏ́ ᴍᴀ̂́ʏ ʙᴀ̀ɪ ᴄʜᴏ ᴠᴀ̀ɪ ᴛʜᴏ̂ɴɢ ᴛɪɴ ᴄᴜ̉ᴀ ʜᴇ̣̂ ʙᴀ̂́ᴛ ᴘʜᴜᴏ̛ɴɢ ᴛʀɪ̀ɴʜ ᴠᴀ̀ ʜᴏ̉ɪ ʜᴇ̣̂ ʙᴀ̂́ᴛ ᴘʜᴜᴏ̛ɴɢ ᴛʀɪ̀ɴʜ ᴛʀᴇ̂ɴ ᴄᴏ́ ʟᴀ̀ ᴛᴀᴍ ɢɪᴀ́ᴄ, ᴛᴜ̛́ ɢɪᴀ́ᴄ ᴋʜᴏ̂ɴɢ, ᴠɪ́ ᴅᴜ̣: 

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ giao nhau tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $OO'$. Đường thẳng kẻ qua $M$ vuông góc $MI$ cắt đường tròn $(O)$ và $(O')$ lần lượt ở $A$ và $B$. Hai đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ và $B$ cắt đường tròn $(O)$ ở $P$, $(O')$ ở $Q$

a. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $AB$.

b. $MI$ cắt $PQ$ ở $E$, chứng minh $EP=EQ$.

c. Chứng minh $IH=IK$.

Cho góc vuông $xOy$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên các tia $Ox, \, Oy$. Đường tròn $( I;OK)$ cắt tia $Ox$ tại $M$ ($I$ nằm giữa $O$ và $M$), đường tròn $( K;OI )$ cắt tia $Oy$ tại $N$ ($K$ nằm giữa $O$ và $N$)

a. Chứng minh $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.

b. Tiếp tuyến tại $M$ của $(I)$, tiếp tuyến tại $N$ của $(K)$ cắt nhau tại $C$. Chứng minh tứ giác $OMCN$ là hình vuông.

c. Gọi $A, \, B$ là các giao điểm của $(I)$ và $(K)$ trong đó $B$ ở miền trong góc $xOy$. Chứng minh ba điểm $A, \, B, \, C$ thẳng hàng.

d. Giả sử $I$ và $K$ theo thứ tự đi động trên các tia $Ox$ và $Oy$ sao cho $OI+OK=a$ không đổi. Chứng minh đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.