Đặt x²+2 =a ta có :

a⁴ + 7a³ + 5a² - 31a - 30

= a⁴ + a³ + 6a³ + 6a² - a² - a -30a - 30

= (a+1)(a³+6a²-a-30)

= (a+1)(a³+5a²+a²+5a-6a-30)

=(a+1)(a+5)(a²+a-6)

=(a+1)(a+5)(a²-2a+3a-6)

=(a+1)(a+5)(a-2)(a+3)

=(x²+3)(x²+7)(x²)(x²+5)

từng nhân tử lớn hơn không riêng x² lớn hơn hoặc bằng 0 nên ta có đa thức trên lớn hơn hoặc bằng 0

Bài này đơn giản thôi bạn, nhưng quan trọng là nó dài nên mình ko có hứng làm chi tiết:)

Ta có: \(VT-VP=\frac{\left(1019a-15b^2-1004c\right)^2+18117\left(b^2-c\right)^2}{1019}\ge0\)

Tự xét dấu bằng nốt:)

Có một cách dùng Cô si:(ko chắc đâu:v) 

Ta có: \(3\left(b^4+c^2\right)\ge3.2\left|b^2c\right|\ge6b^2c\)

\(15\left(a^2+b^4\right)\ge15.2.\left|ab^2\right|\ge30ab^2\)

\(1004\left(a^2+c^2\right)\ge1004.2\left|ac\right|\ge2008ac\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên thu được ...

\(Zn+O_2\rightarrow ZnO\)

Theo định luật bảo toàn khối lượng ta có : \(m_{Zn}+m_{O_2}=m_{ZnO}\)

\(=>11,2+m_{O_2}=18,8=>m_{O_2}=18,8-11,2=7,6\left(g\right)\)

Lượng không khí vừa đủ đốt là : \(m_{kk}=m_{O_2}:\frac{1}{5}=7,6:\frac{1}{5}=38\left(g\right)\)

Có: \(5x^4+10x^2+2y^6+4y^3-6=0\)

<=> \(5\left(x^4+2x^2+1\right)+2\left(y^6+2y^3+1\right)=13\)

<=> \(5\left(x^2+1\right)^2+2\left(y^3+1\right)^2=13\)

Vì x, y nguyên => \(\left(x^2+1\right)^2;\left(x^3+1\right)^2\)là số chính phương

=>  \(x^2+1=1\)

và  \(y^3+1=2\)

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)thử lại thỏa mãn.

Để P max=> x²+2x+2 min
-Có x²+2x+2>=(x+1)²+1
Dấu"=" xảy ra <=> x=-1
=> MaxP=5/1=5 tại x=-1

                                       Bài giải

\(P=\frac{5}{x^2+2x+2}\) đạt GTLN khi \(x^2+2x+2\) đạt GTNN

Do \(x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2+1\ge1\) Dấu " = " xảy ra khi ( x + 1 )² + 1 = 1 => ( x + 1 ) ² = 0 => x + 1 = 0 => x = - 1

\(\Rightarrow\text{ }P\le\frac{5}{1}=5\)

\(\Rightarrow\text{ }Max\text{ }P=5\text{ khi }x=-1\)