= 2028

= 666

k nhé! Hok tốt

=2028

=666

k tui đi ..................

123421 + 24324 = 147745

23423 + 345345 = 368768

123421 + 24324 = 147745

23423 + 345345 = 368768

a) Ta thấy: Tứ giác BKQC nội tiếp đường tròn => ^CKQ = ^CBQ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CQ) (1)

Ta có: MK // AD => ^CKM = ^CAD (Đồng vị) . Mà ^CAD = ^CBD (Cùng chắn cung CD) => ^CKM = ^CBD  (2)

Từ (1) và (2) => ^CKQ = ^CKM => 2 tia KQ và KM trùng nhau => 3 điểm K,M,Q thẳng hàng (đpcm).

b) Sửa đề: "5 điểm M,S,Q,R,T thẳng hàng ?"

Chứng minh tương tự câu a, ta có: 3 điểm L,M,R thẳng hàng => ^RMQ  = ^KML (Đối đỉnh)

Tứ giác AKML là hình bình hành => ^KML = ^KAL = ^CAD. Do đó; ^RMQ = ^CAD (3)

Lại có: ^RTQ = ^RED (Cùng chắn cung RD); ^RED = ^CED = ^CAD => ^RTQ = ^CAD (4)

Từ (3) và (4) => ^RMQ = ^RTQ => Tứ giác RTMQ nội tiếp hay 4 điểm R,T,M,Q thuộc 1 đường tròn (*)

Mặt khác: ^TRS = ^BDE = ^BCE = ^TQS => Tứ giác TRQS nội tiếp hay 4 điểm T,R,Q,S thuộc 1 đường tròn (**)

Từ (*) và (**) => 5 điểm M,S,Q,R,T cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).

c) Giả sử S là 1 điểm chung của (PQR) và (O). Kẻ tia tiếp tuyến Fx của (O). Ta chứng minh Fx cũng là tiếp tuyến của (PQR)

Thật vậy: Gọi giao điểm thứ hai của AF với (PQR) là N. Kéo dài tia AP cắt (O) tại I.

Do L,M,R thẳng hàng; ML // AC => MR // AC => ^RMF = ^CAF (Đồng vị). Mà ^CAF = ^REF

Nên ^RMF = ^REF => Tứ giác EMRF nội tiếp => ^RFM = ^REM hay ^RFN = ^REM

Ta thấy: ^RFN = ^RPN => ^REM = ^RPN. Do 2 góc này đồng vị nên PN // EM hoặc PN // BE (5)

Xét đường tròn (O): 2 dây CD // BE => (BC=(DE => ^BAC = ^EAD

Có ^MAB = ^PAE => ^MAB - ^BAC = ^PAE - ^EAD => ^CAF = ^DAI => (CF=(ID

Xét (O): (CF = (ID, F và I nằm cùng phía so với CD => IF // CD => IF // BE (6)

Từ (5) và (6) => PN // IF => ^FIA = ^NPA (Đồng vị)

Dễ dàng c/m được PF = PI (\(\Delta\)PCF = \(\Delta\)PDI) => ^PIF = ^PFI hay ^FIA = ^PFI

Ta lại có: ^PFx = ^PFI + ^IFx = ^FIA + ^FAI = ^NPA + ^FAI = ^NPA + ^NAP = ^FNP (Góc ngoài)

Mà ^FNP = 1/2.Sđ(FP => ^PFx = 1/2.Sđ(FP => Fx là tia tiếp tuyến của đường tròn (PQR) => Đpcm.  

Sorry, "5 điểm M,S,Q,R,T cùng nằm trên 1 đường tròn", mik gõ lộn :(  

12375

Áp dụng BĐT AM-GM: \(1+b^2\ge2b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:  \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Mà \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) 

Nên \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P=x+\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}y+2013\ge2\sqrt{x.\frac{2}{3}y}+\frac{1}{3}y+2013\)

\(\ge2\sqrt{\frac{2}{3}.6}+\frac{1}{3}.3+2013=2\sqrt{4}+1+2013=4+2014=2018\)

Nên GTNN của P là 2018 đạt được khi \(x=2,y=3\)

\(x+y\ge2\sqrt{x.y}\)mà \(x\cdot y\ge6\)

\(\Rightarrow\)\(x+y\ge2\sqrt{x.y}\ge2\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow\)\(x+y+2013\ge2\sqrt{x\cdot y}+2013\ge2\sqrt{6}+2013\)

dấu = xảy ra khi \(x+y+2013=2\sqrt{x\cdot y}+2013=2\sqrt{6}+2013\)

\(\Rightarrow\)Min  \(p=2\sqrt{6}+2013\)

Bạn xem hộ mình sai ở đâu giùm nha?