Ta có: \(\frac{1}{x\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{y\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{z\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{1}{x\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{1}{y\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{z\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{yz\left(b-c\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-\frac{xz\left(a-c\right)}{yxz\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{xy\left(a-b\right)}{zxy\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)

\(=\frac{yz\left(b-c\right)-xz\left(a-c\right)+xy\left(a-b\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)\(=\frac{yz\left(b-c\right)-xz\left[\left(b-c\right)+\left(a-b\right)\right]+xy\left(a-b\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{yz\left(b-c\right)-xz\left(b-c\right)-xz\left(a-b\right)+xy\left(a-b\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)z\left(y-x\right)-\left(a-b\right)x\left(z-y\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)z\left(c+a-b-b-c+a\right)-\left(a-b\right)x\left(a+b-c-c-a+b\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)z\left(2a-2b\right)-\left(a-b\right)x\left(2b-2c\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)2z\left(a-b\right)-\left(a-b\right)2x\left(b-c\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(2z-2x\right)}{xyz\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(=\frac{2\left(z-x\right)}{xyz\left(a-c\right)}=\frac{2\left(a+b-c-b-c+a\right)}{xyz\left(a-c\right)}\)

\(=\frac{2\left(2a-2c\right)}{xyz\left(a-c\right)}=\frac{2.2\left(a-c\right)}{xyz\left(a-c\right)}=\frac{4}{xyz}\Rightarrowđpcm\)

\(A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=|2+\sqrt{3}|-|2-\sqrt{3}|\)

\(=2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}\)

\(=2\sqrt{3}\)

\(B=\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}-\sqrt{\left(3-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=|3+\sqrt{2}|-|3-\sqrt{2}|\)

\(=3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}\)

\(=2\sqrt{2}\)

\(C=\sqrt{17+12\sqrt{2}}+\sqrt{17-12\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=|3+2\sqrt{2}|+|3-2\sqrt{2}|\)

\(=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}\)

\(=6\)

\(D=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\left(2+\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=|2+\sqrt{5}|-|2-\sqrt{5}|\)

\(=2+\sqrt{5}-\sqrt{5}+2\)

\(=4\)

\(E=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=|1+\sqrt{5}|-|1-\sqrt{5}|\)

\(=1+\sqrt{5}-\sqrt{5}+1\)

\(=2\)

\(A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

\(A=\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}\)

A = 2 + 2

A = 4

\(B=\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}\)

\(B=\sqrt{2}+3+3-\sqrt{2}\)

B = 3 + 3

B = 6

\(C=\sqrt{17+12\sqrt{2}}+\sqrt{17-12\sqrt{2}}\)

\(C=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}\)

C = 3 + 3

C = 6

\(D=\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}}\)

\(D=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2\)

D = 2 + 2

D = 4

\(E=\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(E=\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1\)

E = 1 + 1

E = 2

Cách liên hợp 

ĐK \(x\ge-2\)

PT <=> \(\sqrt{x+2}+5x+2\ne0\)

\(25x^2+19x+2+2\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}-5x-2\right)=0\)

Xét \(\sqrt{x+2}+5x+2=0\)=> \(x=\frac{-19-\sqrt{161}}{50}\)

Thay vào ta thấy nó không phải là nghiệm của PT

=> \(\sqrt{x+2}+5x+2\ne0\)

<=> \(25x^2+19x+2+2\left(x+1\right).\frac{x+2-\left(5x+2\right)^2}{\sqrt{x+2}+5x+2}=0\)

<=> \(25x^2+19x+2+2\left(x+1\right).\frac{-25x^2-19x-2}{\sqrt{x+2}+5x+2}=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}25x^2+19x+2=0\\1-\frac{2\left(x+1\right)}{\sqrt{x+2}+5x+2}=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Pt (2)

<=> \(\sqrt{x+2}=-3x\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x\le0\\9x^2-x-2=0\end{cases}}\)=> \(x=\frac{1-\sqrt{73}}{18}\)(TM ĐKXĐ)

Pt (1) có nghiệm \(x=\frac{-19+\sqrt{161}}{50}\)(Tm ĐKXĐ)

Vậy Pt có nghiệm \(S=\left\{\frac{1-\sqrt{73}}{18};\frac{-19+\sqrt{161}}{50}\right\}\)

Cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn 

ĐK\(x\ge-2\)

PT 

<=> \(15x^2+6x+2\left(x+1\right)\sqrt{x+2}-\left(x+2\right)=0\)

Đặt \(\sqrt{x+2}=a\left(a\ge0\right)\)

=> \(15x^2+6x+2\left(x+1\right).a-a^2=0\)

<=> \(\left(15x^2+2ax-a^2\right)+\left(6x+2a\right)=0\)

<=> \(\left(5x-a\right)\left(3x+a\right)+2\left(3x+a\right)=0\)

<=> \(\left(3x+a\right)\left(5x-a+2\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}3x+a=0\\5x-a+2=0\end{cases}}\)

+ 3x+a=0

=> \(3x+\sqrt{2+x}=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}x\le0\\9x^2-x-2=0\end{cases}}\)=> \(x=\frac{1-\sqrt{73}}{18}\)(TM ĐKXĐ)

+ 5x-a+2=0

=> \(5x+2=\sqrt{x+2}\)

=> \(\hept{\begin{cases}x\ge-\frac{2}{5}\\25x^2+19x+2=0\end{cases}}\)=> \(x=\frac{-19+\sqrt{161}}{50}\)(TM ĐKXĐ)

vậy \(S=\left\{\frac{-19+\sqrt{161}}{50};\frac{1-\sqrt{73}}{18}\right\}\)

Biến đổi vế trái :

\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2\)

\(=\frac{1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a}{1-\sqrt{a}}.\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\left(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a\right)\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\frac{1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+a.\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{a}\right)^2+a\sqrt{a}}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\frac{a^2-2a+1}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\left(\frac{a-1}{1-a}\right)^2=\left(-1\right)^2=1=VP\left(đpcm\right)\)

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=\left(\frac{1-\sqrt{a}^3}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left[\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right]^2\)

\(=\left[\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right].\left(\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)^2\)

\(=\left(1+\sqrt{a}+a+\sqrt{a}\right).\left(\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)^2\)

\(=\left(1+2\sqrt{a}+a\right).\frac{1}{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)^2.\frac{1}{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}=1\)( đpcm )

Em thử nha,sai thì thôi ạ.

2/ ĐK: \(-2\le x\le2\)

PT \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)

Nhân liên hợp zô: với chú ý rằng \(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}>0\) với mọi x thỏa mãn đk

PT \(\Leftrightarrow\frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x-4\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)=0\)

Tới đây thì em chịu chỗ xử lí cái ngoặc to rồi..

1.\(\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x\)

ĐK \(x\ge-1\)

Nhân liên hợp ta có

\(\left(x+3-x-1\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)\)

<=>\(x^2+\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)\)

<=> \(\left(x^2-x\sqrt{x+3}\right)+\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-x\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(x-\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{x+3}\\x=\sqrt{x+1}\end{cases}}\)

=> \(x\in\left\{\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90⁰.

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.

#)Sửa đề : x⁴+2x³+5x²+4x-12=0

#)Giải :

\(x^4+2x^3+5x^2+4x-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-x^3\right)+\left(3x^3-3x^2\right)+\left(8x^2-8x\right)+\left(12x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2+8x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x^3+2x^2\right)+\left(x^2+2x\right)+\left(6x+12\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x^2+x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Giải phương trình:

x⁴+2x³+5x²+4x+4=0

_Sửa đề bài :

Đặt: \(x^2=t\)

Sao đó giải như pt bậc 2 bình thường 

cops mạng đâu thế :((

Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

và \(E=x+y+z\)

\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)

\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

           \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)

mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)

_Hắc phong_

Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :

\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)

                                                (6 số \(\frac{5}{2}x\))                                                     (5 số\(3y\))                    (4 số\(\frac{15}{4}z\))

\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)

Và cũng có : 

\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)

                                                  (3 số\(10x\))                              (5 số\(12y\))                   (7 số\(15z\)) 

\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)

Điều này có nghĩa là :

\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)

Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)

Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)

Từ đó suy ra

\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)

P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)

_Minh ngụy_

\(a,\)Để \(\sqrt{-3x}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow-3x\ge0\Rightarrow x\le0\)

\(b,\)Để \(\sqrt{4-2x}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow4-2x\ge0\Rightarrow-2\left(x-2\right)\ge0\Rightarrow x-2\le0\Leftrightarrow x\le2\)

\(c,\)Để \(\sqrt{-3x+2}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow-3x+2\ge0\Rightarrow-3x\ge-2\Leftrightarrow x\le\frac{2}{3}\)

\(d,\)Để \(\sqrt{3x+1}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow3x+1\ge0\Rightarrow3x\ge-1\Rightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)

\(e,\)Để \(\sqrt{9x-2}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow9x-2\ge0\Rightarrow9x\ge2\Rightarrow x\ge\frac{2}{9}\)

\(f,\)Để \(\sqrt{6x-1}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow6x-1\ge0\Rightarrow6x\ge1\Rightarrow x\ge\frac{1}{6}\)

a) \(x\le0\) 

\(b)2x\le4\Leftrightarrow x\le2\) 

\(c)-3x\ge-2\Leftrightarrow x\le\frac{2}{3}\)

..........