b) xét ΔANK và ΔBNC, có:

NK = NC (gt)

\(\widehat{ANK}=\widehat{BNC}\) (đối đỉnh)

NB = NA (gt)

⇒ ΔANK = ΔBNC (c-g-c)

vì M là trung điểm của BC nên ta có: \(BC=MB+MC=2MC\)

mà KA = BC (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow BC=KA=2MC\)

c) ta có MB = MC (giả thiết) 

⇒ MA là đường trung tuyến của ΔABC

⇒ MA cũng là đường phân giác của ΔABC

⇒ MA là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=2\widehat{BAM}\\ \Rightarrow\widehat{BAM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{50^0}{2}=25^0\left(1\right)\)

Vì ΔABC cân tại A nên

\(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{\left(180^0-\widehat{A}\right)}{2}=\dfrac{\left(180^0-50^0\right)}{2}=\dfrac{130^0}{2}=65^0\)

mà \(\widehat{KAB}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow\widehat{KAB}=65^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\widehat{KAM}=\widehat{KAB}+\widehat{AMB}=65^0+25^0=90^0\)

a: Sửa đề: ΔMNO=ΔMBO

Xét ΔMNO và ΔMBO có

MN=MB

NO=BO

MO chung

Do đó: ΔMNO=ΔMBO

b: Ta có: ΔMNO=ΔMBO

=>\(\widehat{NMO}=\widehat{BMO}\)

=>\(\widehat{NMA}=\widehat{BMA}\)

Xét ΔMNA và ΔMBA có

MN=MB

\(\widehat{NMA}=\widehat{BMA}\)

MA chung

Do đó: ΔMNA=ΔMBA

=>AN=AB

xét ΔABD và ΔEBD, có:

BA = BE (giả thiết)

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (giả thiết)

BD là cạnh chung

⇒ ΔABD = ΔEBD (c-g-c)

b) sao mà DE = BC được

c) vì BA = BE (giả thiết) nên ΔABE cân tại B

Lại có: BK là đường phân giác  ΔABE

⇒ BK cũng là đường trung trực ΔABE

⇒ KA = KE và \(\widehat{BKE}=\widehat{BKA}=90^0\)

xét ΔDEK VÀ  ΔDAK, có:

KA = KE (cmt)

\(\widehat{DKA}=\widehat{DKE}=90^0\left(cmt\right)\)

DK cạnh chung

=> ΔDEK = ΔDAK (c-g-c)

Bài 1:

a: BM=2MC

=>\(BM=\dfrac{2}{1+2}BC=\dfrac{2}{3}BC\)

Xét ΔABD có

BC là đường trung tuyến

\(BM=\dfrac{2}{3}BC\)

Do đó: M là trọng tâm của ΔABD

Xét ΔABD có

M là trọng tâm của ΔABD

N là trung điểm của BD

Do đó: A,M,N thẳng hàng

b: Vì M là trọng tâm của ΔABD 

nên DM đi qua trung điểm của AB

Bài 2:

a: G là trung điểm của BK

=>\(BG=GK=\dfrac{BK}{2}\)

Ta có: BG+GM=BM

=>\(GM+\dfrac{2}{3}BM=BM\)

=>\(GM=\dfrac{1}{3}BM\)

=>BG=2GM

=>GK=2GM

=>M là trung điểm của GK

=>MG=MK

Xét ΔKGC có

GE,CM là các đường trung tuyến

GE cắt CM tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔKGC

b: Xét ΔKGC có

I là trọng tâm

CM là đường trung tuyến

Do đó: \(CI=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AC=\dfrac{1}{3}AC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔAEC vuông tại A có

AB=AE

AC chung

Do đó: ΔABC=ΔAEC

b: Xét ΔCBE có

BH,CA là các đường trung tuyến

BH cắt CA tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔCBE

c: Xét ΔBCE có

A là trung điểm của BE

AK//CE

Do đó: K là trung điểm của CB

Xét ΔBCE có

M là trọng tâm 

K là trung điểm của BC

Do đó: E,M,K thẳng hàng

a: ΔDEF vuông tại D

=>\(\widehat{DEF}+\widehat{DFE}=90^0\)

=>\(\widehat{DFE}+30^0=90^0\)

=>\(\widehat{DFE}=60^0\)

Xét ΔDEF có \(\widehat{DEF}< \widehat{DFE}< \widehat{EDF}\)

mà DF,DE,EF lần lượt là cạnh đối diện của các góc DEF,DFE,EDF

nên DF<DE<EF

b: Xét ΔFDG vuông tại D và ΔFKG vuông tại K có

FG chung

\(\widehat{DFG}=\widehat{KFG}\)

Do đó: ΔFDG=ΔFKG

c: Ta có: ΔFDG=ΔFKG

=>GD=GK

mà GK<GE(ΔGKE vuông tại K)

nên GD<GE

d: Ta có: ΔFDG=ΔFKG

=>FD=FK

Xét ΔFKM vuông tại K và ΔFDE vuông tại D có

FK=FD

\(\widehat{KFM}\) chung

Do đó: ΔFKM=ΔFDE

=>FM=FE

Xét ΔFME có FM=FE và \(\widehat{MFE}=60^0\)

nên ΔFME đều

\(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{2023\cdot2024}\)

\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2023}-\dfrac{1}{2024}\)

\(=1-\dfrac{1}{2024}=\dfrac{2023}{2024}\)

Cảm ơn

c: Xét ΔDBE có

EI,BC là các đường trung tuyến

EI cắt BC tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔDBE

Xét ΔDBE có

K là trọng tâm

EI là đường trung tuyến

Do đó: \(EK=\dfrac{2}{3}EI\)

Ta có: EK+KI=EI

=>\(KI+\dfrac{2}{3}EI=EI\)

=>\(KI=\dfrac{1}{3}EI\)

=>\(\dfrac{IK}{EK}=\dfrac{\dfrac{1}{3}EI}{\dfrac{2}{3}EI}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(IK=\dfrac{EK}{2}\)

Sửa đề: IB=ID

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b; Xét ΔIAB và ΔICD có

IA=IC

\(\widehat{AIB}=\widehat{CID}\)

IB=ID

Do đó: ΔIAB=ΔICD

=>\(\widehat{IAB}=\widehat{ICD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC