Chứng minh chiều thuận:

Giả sử có tam giác ABC cân tại A, đương nhiên trung tuyến và phân giác kẻ từ A của tam giác này trùng nhau. Mà trọng tâm D thuộc trung tuyến kẻ từ A, giao điểm các đường phân giác trong E thuộc phân giác trong kẻ từ A nên AD, AE trùng nhau, do đó A, D, E thẳng hàng.

Chứng minh chiều đảo:

Giả sử A, D, E thẳng hàng. Dễ thấy rằng khi đó AD, AE lần lượt là trung tuyến và phân giác trong của tam giác ABC. Mà A, D, E thẳng hàng \(\Rightarrow AD\equiv AE\), do đó tam giác ABC cân tại A (Dấu hiệu nhận biết)

À không, xin lỗi bạn, bài đó mình làm lộn đề đó. Bài này mới đúng nhé:

thuận: (giả sử tam giác ABC cân tại A):

Khi đó \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\). Mà BD, CD là 2 trung tuyến kẻ từ B, C nên \(BD=CD\) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\). Từ đó dễ thấy \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\), mà BE, CE là các phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\). Từ đây dễ thấy \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)  \(\Rightarrow EB=EC\). Do đó, E nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Mà AD chính là trung trực của BC (Do tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến) \(\Rightarrow E\in AD\Rightarrowđpcm\)

đảo: (giả sử A,D,E thẳng hàng)

Ta thấy AD chính là trung trực của đoạn BC, mà A,D,E thẳng hàng nên E thuộc trung trực của BC \(\Rightarrow EB=EC\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)

Đồng thời \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\) , từ đó \(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\)

Mà BE, CE lần lượt là phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\). Bằng phép cộng góc, ta dễ dàng suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.

Yêu cầu đề là gì bạn cần ghi rõ ra nhé.

Đặt \(x^{1003}=a;y^{1003}=b;1003=c\). Khi đó điều kiện đã cho 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a^2+b^2=2c\end{matrix}\right.\)

Ta có \(a^2+b^2=2c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=2c+2ab\) \(\Leftrightarrow c^2-2c=2ab\) \(\Leftrightarrow ab=\dfrac{c^2-2c}{2}\)

Từ đó \(x^{3009}+y^{3009}=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\) \(=c\left(2c-\dfrac{c^2-2c}{2}\right)\) \(=\dfrac{6c^2-c^3}{2}\) \(=\dfrac{6.1003^2-1003^3}{2}=-501495486,5\)

(mình tính đúng luôn nhé)

e cảm ơn

\(P=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{x}{2\sqrt{x}}\right)^2.\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x-1}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{x-1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}\right)^2.\left(\dfrac{x-2\sqrt{x}+1-x-2\sqrt{x}-1}{x-1}\right)\)

\(=\dfrac{\left(1-x\right)^2}{2\sqrt{x}}.\dfrac{-4\sqrt{x}}{-\left(1-x\right)}\)

\(=\left(1-x\right).2\sqrt{x}\)

\(=2\sqrt{x}-2x\sqrt{x}\)

ĐKXĐ :\(\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\x^2+1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge-1\)

Khi đó \((x^2+4x+5)\sqrt{x+1}=(3x^2-8x-5)\sqrt{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow(x^2+1)\sqrt{x+1}+4(x+1)\sqrt{x+1}=3(x^2+1)\sqrt{x^2+1}-8(x+1)\sqrt{x^2+1}\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x^2+1}=b(a\ge0;b>0)\)

Phương trình trở thành :

\(4a^3+ab^2=3b^3-8a^2b\)

\(\Leftrightarrow4(a^3+b^3)+b(8a^2+ab-7b^2)=0\)

\(\Leftrightarrow(a+b)(4a^2-4ab+4b^2)+(a+b)(8ab-7b^2)=0\)

\(\Leftrightarrow(a+b)(4a^2+4ab-3b^2)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a-b\right)\left(2a+3b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0(\text{loại})\\2a-b=0\\2a+3b=0(\text{loại})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2a=b\) (vì \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\b>0\end{matrix}\right.\) nên a+b>0 ; 2a +3b > 0)

Trở lại cách đặt ta được 

\(2\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow x^2-4x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{7}+2\) (loại \(x=-\sqrt{7}+2\))

Vậy x = \(\sqrt{7}+2\) là nghiệm phương trình