Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(a+1\right)\left(a+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+1}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{a+b^2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(b=1\)

\(3x+7y=55\)

\(\Leftrightarrow3x-6=49-7y\)

\(\Rightarrow3\left(x-2\right)=7\left(7-y\right)\)

Do 3 và 7 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow x-2⋮7\Rightarrow x-2=7k\)

\(\Rightarrow x=7k+2\) \(\left(k\in Z\right)\)

\(\Rightarrow y=7-3k\)

Mà x;y nguyên dương \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7k+2>0\\7-3k>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{2}{7}< k< \dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow k=\left\{0;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(2;7\right);\left(9;4\right);\left(16;1\right)\)

3x + 7y = 55

học sinh đc nghiệm nguyên tổng quát của phương trình trên :

{x-110+7t

{y=55-3t

{x>0<=>{-110+7t>0(t thuộc z)<=>{t>110/7

{y>0<>={55-3t>0                          {t<55/3    (t thuộc z)>T thuộc {16;17;18}

vậy phương trình trên có 3 nghiệm dương là:

(2;7);(9;4);(16;1).

bạn tự trình bày nhé 

Đặt \(P=\dfrac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+\sqrt{ab}}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}}\)

Áp dụng BĐT Holder:

\(P^2.\left[a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)}\)

Mặt khác:

\(a\left(b+\sqrt{ac}\right)+b\left(c+\sqrt{ab}\right)+c\left(a+\sqrt{bc}\right)\le a\left(b+\dfrac{a+c}{2}\right)+b\left(c+\dfrac{a+b}{2}\right)+c\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}{2}\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}\ge\dfrac{9\sqrt[3]{abc}}{2}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

Ta có 2023m² + m = 2022n² + n

<=> n² = 2023n² + n - 2023m² - m

<=> n² = 2023(n² - m²) + (n - m)  

<=> n² = (n - m)[2023(n + m)  + 1] (*)  

Đặt (n - m ; 2023(n + m) + 1) = d (\(d\inℕ^∗\))

=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\2023.\left(n+m\right)+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\\left(n-m\right).\left[2023.\left(n+m\right)+1\right]⋮d^2\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n^2⋮d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n⋮d\\m⋮d\end{matrix}\right.\) (1) 

Lại có 2023(n + m) + 1 \(⋮d\) (2) 

Từ (1) và (2) => d = 1 

=> (n - m ; 2023(n + m) + 1) = 1 (3)

Từ (*) và (3) => 2023(n + m) + 1 là số chính phương 

bạn ơi điểm E là điểm nào vậy?

ĐKXĐ: \(x\ne-1;y\ne3\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=u\\\dfrac{1}{y-3}=v\end{matrix}\right.\) ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}u-2v=-\dfrac{1}{2}\\3u+v=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-2v=-\dfrac{1}{2}\\6u+2v=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-2v=-\dfrac{1}{2}\\7u=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{2}\\v=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{y-3}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y-3=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\left(a\ne0\right)\\y-3=b\left(b\ne0\right)\end{matrix}\right.\)

Hệ pt trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}=-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}=-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{b}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{7}{a}=\dfrac{7}{2}\\\dfrac{1}{a}-\dfrac{2}{b}=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\left(tm\right)\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{b}=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\y-3=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy x=1;y=5

có tam giác ABC đều (gt)

=> góc A = góc B = góc C (đn) (1)

     AB = AC = BC 

AB = BM + MA

AC = AN + NC

BC = BE + CE

mà BE = CN = AM (gt)    (2)

=> BM = AN = CE                     (3)

(1)(2)(3) => tam giác AMN = tam giác CNE = tam giác BEM (c - g - c)

=> MN = NE = EM

=> tam giác MEN đều