Cho biểu thức : \(P=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\right)\) với \(x>0;x\ne4\)
a, Rút gọn biểu thức P
b, Tìm GTNN của biểu thức P
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\frac{1-2\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2sin\alpha\cdot\cos\alpha}{sin^2\alpha-\cos^2\alpha}\)\(=\frac{\left(sin\alpha-\cos\alpha\right)^2}{sin^2\alpha-\cos^2\alpha}=\frac{sin\alpha-\cos\alpha}{sin\alpha+\cos\alpha}\)(đpcm)
2) \(cos^4\alpha+sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha+sin^2\alpha\)
\(=cos^4\alpha+\left(1-cos^2\alpha\right)\cdot cos^2\alpha+sin^2\alpha\)
\(=cos^4\alpha+cos^2\alpha-cos^4\alpha+sin^2\alpha\)
\(=cos^2\alpha+sin^2\alpha=1\)(đpcm)
\(\frac{2017}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2017}}=\frac{2017\sqrt{2017}+2018\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}\cdot\sqrt{2018}}\)
\(=\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\right)\cdot\frac{2017+2018-\sqrt{2018\cdot2017}}{\sqrt{2017\cdot2018}}\)
Ta thấy \(\frac{2017+2018-\sqrt{2018\cdot2017}}{\sqrt{2018\cdot2017}}=\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2018}}+\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}}-1\)
Áp dụng ĐBT Cô si thì \(\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2018}}+\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}}\ge2\Rightarrow\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2018}}+\frac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2017}}-1\ge1\)
\(\Rightarrow\sqrt{2017}+\sqrt{2018} < \frac{2017}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2017}}\)
O O O N P H Q M 1 2 3
Do ba đường tròn (O1);(O2);(O3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau nên p(O1O2O3) = 5 + 7+ 9 = 21
Áp dụng công thức Hê-rông cho \(\Delta\)O1O2O3 ta có:
\(S_{O_1O_2O_3}=\sqrt{21\left(21-12\right)\left(21-16\right)\left(21-14\right)}=21\sqrt{15}\)
Và ta tính được \(O_3H=\frac{2S_{O_1O_2O_3}}{O_1O_2}=\frac{2.21\sqrt{15}}{5+7}=\frac{7\sqrt{15}}{2}\)
Áp dụng ĐL Pytagoras cho \(\Delta\)O2HO3: \(O_2H=\sqrt{O_2O_3^2-O_3H^2}=\sqrt{\left(7+9\right)^2-\left(\frac{7\sqrt{15}}{2}\right)^2}=\frac{17}{2}\)
Suy ra \(HM=O_2H-O_2M=\frac{17}{2}-5=\frac{7}{2}\)
Từ O3 hạ O3Q vuông góc với PN. Khi đó NP = 2PQ và tứ giác HMQO3 là hình chữ nhật
Áp dụng ĐL Pytagoras ta có \(PQ=\sqrt{O_3P^2-O_3Q^2}=\sqrt{7^2-HM^2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}\)
Do vậy \(NP=2PQ=7\sqrt{3}\). Kết luận \(NP=7\sqrt{3}.\)