Ta có \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)

Xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

<=> \(x^3\ge\left(2018^2-2.2018.x+x^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)

<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2018.2\right)+x\left(2018.1009+2018^2\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\)

<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}\left(x^2-\frac{2.2018}{3}.x+\left(\frac{2018}{3}\right)^2\right)\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)

=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

Khi đó \(VT\ge x-\frac{1009}{2}+y-\frac{1009}{2}+z-\frac{1009}{2}=2018-\frac{3}{2}.1009=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)

Ta có : \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)

xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

<=> \(x^3\ge\left(x^2-2.2018.x+2018^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)

<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2.2018\right)+x\left(2018^2+1009.2018\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)

<=> \(\frac{9081}{2}.\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)

=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)

Khi đó \(P\ge x+y+z-\frac{3.1009}{2}=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)

a) i) ta có \(\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^0\)

=> tứ giác AOMC nội tiếp đường tròn đường kính OC

tương tự ta lại có \(\widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90^0\)

=> tứ giác BOMD nội tiếp đường tròn đường kính OD

ii) Ta có \(\widehat{OBM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}\)( góc nội tiếp zà góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

\(\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}\)(t/c 2 đường tiếp tuyến cắt nhau )

=>\(\widehat{OBM}=\widehat{AOC}\)

=> \(OC//BM\)mà \(BM\perp OD\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=>\(OC\perp OD\)(dpcm)

ta có \(\widehat{AOC}=\widehat{AMC}\left(1\right)\)( hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung AC của đường tròn đường kính OD )

\(\widehat{OBM}=\widehat{ODM}\left(2\right)\)(hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung OM của đường tròn đường kính OD)

\(\widehat{AOC}=\widehat{OBM}\left(3\right)\left(cmt\right)\)

zậy từ 1 ,2 ,3 => góc AOC= góc AMC = góc OBM = góc ODM

b)+) \(\widehat{BAM}=\widehat{BMD}=60^0\)( góc nội tiếp zà góc giữa 1 tia tiếp tuyến zà một dây cung cùng chắn 1 cung)

mà  tam giác DBM cân tại D ( t/c  2  tiếp tuyến cát nhau )

=> tam giác DBM đều (dpcm)

+)\(\widehat{BOM}=2\widehat{BAM}=120^0\)( góc nội tiếp zà góc ở tâm cùng chắn 1 cung )

gọi S là diện tích cần tìm 

\(=>S=\frac{\pi R^2120}{360}=\frac{\pi R^2}{3}\)(đơn zị diện tích )

cho mình xin hình ạ

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn thì 

\(\Delta'>0\)

=>\(\left(m+1\right)^2-\left(2m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-2m-1>0\Leftrightarrow m^2>0\Leftrightarrow m\ne0\)

theo định lý vi et  ta có\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+1\end{cases}}\)

ta có \(x_1^3+x_2^3=2019\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=2019\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2\right)=2019\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=2019\)

\(\Rightarrow2\left(m+1\right).\left[4\left(m+1\right)^3-3\left(2m+1\right)\right]=2019\)

\(=>2(m+1).\left[4m^2+8m+4-6m-3\right]=2019\)

\(\Rightarrow2\left(m+1\right)\left(4m^2+2m+1\right)-2019=0\)

\(\Rightarrow8m^3+4m^2+2m+8m^2+4m+2-2019=0\)

\(=>8m^3+12m^2+6m-2017=0\)

\(\Rightarrow m=5,8\left(\forall m\right)\)

có bấm nhầm j ko vậy bạn

Hình nếu chị không vẽ được thì hỏi em nhé chị !

Gọi I là trung điểm của BC => I cố định ( vì B,C  cố định ) 

Ta có : AG = 2.OI ( theo bổ đề 7 ) 

Lại có AM = AH nên AM = 2.OI      ( 1 ) 

Trên tia IO lấy điểm K sao cho OK = 2. OI      ( 2 ) 

=> K cố định ( vì O,I cố định )

Từ ( 1 ) ( 2 ) => AM = KO mà AM// KO 

( vì cùng vuông góc với BC ) .

Do đó AMKO là hình bình hành nên KM = OA = R  : không đổi 

Vậy khi A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm M đi động trên đường tròn cố định ( K ; R ) => đpcm

a,   \(P_1:Aa\left(đỏ\right)\times Aa\left(đỏ\right)\)

    \(G:\frac{1}{2}A,\frac{1}{2}a\)     \(\frac{1}{2}A,\frac{1}{2}a\)

     \(F_1:\frac{1}{4}AA,\frac{2}{4}Aa,\frac{1}{4}aa\)Tỉ lệ phân li kiểu gen :\(\frac{1}{4}AA,\frac{2}{4}Aa,\frac{1}{4}aa\)

b,  \(P_2:Aa\left(đỏ\right)\times aa\left(trắng\right)\)

     \(G:\frac{1}{2}A,\frac{1}{2}a\)   \(a\)

      \(F_1:\frac{1}{2}Aa,\frac{1}{2}aa\)Tỉ lệ phân li kiểu gen:\(1:1\)

Với n= 3 ,  ,chọn x₃ =y₃ =1

Giả sử với n \(\ge\)3 , tồn tại cặp số nguyên dương lẻ ( x_n ,y_n ) sao cho 7.x_n² + y²_n= 2ⁿ.Ta chứng minh mỗi cặp 

\(\left(X=\frac{x_n+y_n}{2},Y=\frac{\left|7.x_n-y_n\right|}{2}\right)\),

\(\left(X=\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2},Y=\frac{7.x_n\pm y_n}{2}\right)^2=2.\left(7.x_n^2+7_n^2\right)=2.2^n=2^{n+1}\)

Vì x_n,y_n lẻ nên x_n = 2a+1 ; y_n = 2k + 1 ( a,k \(\inℤ\)) 

\(\Rightarrow\frac{x_n+y_n}{2}=k+1+1\)và \(\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2}=\left|k-1\right|.\)

Điều đó chứng tỏ rằng một trong các số \(\frac{x_n+y_n}{2}.\frac{\left|x_n+y_n\right|}{2}\)là lẻ .Vì vậy với n + 1 tồn tại các số tự nhiên lẻ x_n+1 và y_n+1 thỏa mãn 7.x²_n+1 + y²_n+1 =2ⁿ⁺¹=> đpcm