\(=2x-\frac{2.3}{2\sqrt{2}}.\sqrt{2x}+\frac{9}{8}+\frac{23}{8}\)

\(=\left(\sqrt{2x}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{23}{8}\ge\frac{23}{8}\)

=> GTNN của BT là 23/8

Tính chất ''bình phương của một biểu thức''+''căn bậc hai số học'':  luôn không âm

Ta có: \(\left(2x-y\right)^2\ge0\forall x,y\);  \(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\); \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}\ge0\forall x,y,z\)

Suy ra \(\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2+\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}\ge0.\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\\\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\y=2\\x+y+z=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=-3\end{cases}.}}\)

Điều kiện \(x\ge4.\)Ta có:

\(x-\sqrt{x-4}-2=\left(x-4\right)-2.\sqrt{x-4}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}.\)

                                    \(=\left(\sqrt{x-4}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)

Vì \(\left(\sqrt{x-4}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(\sqrt{x-4}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}.\)hay \(x-\sqrt{x-4}-2\ge\frac{7}{4}.\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(\sqrt{x-4}-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\frac{17}{4}\left(tm\right).\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}}}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3-\sqrt{3}-1}}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{6+\sqrt{6}\cdot\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{6+\sqrt{6}\cdot\left(\sqrt{3}-1\right)}\)

\(=\sqrt{6+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}\)