Cần CM: \(\frac{1}{9-a}-\frac{12}{a^2+63}\ge\frac{1}{144}a^2-\frac{1}{16}\) (1) 

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+12a-45}{\left(9-a\right)\left(a^2+63\right)}\ge\frac{1}{144}a^2-\frac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\)\(144\left(a^2+12a-45\right)\ge\left(a-3\right)\left(a+3\right)\left(9-a\right)\left(a^2+63\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left[144\left(a+15\right)-\left(a+3\right)\left(9-a\right)\left(a^2+63\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left(a^4-6a^3+36a^2-234a+459\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)^2\left(a^3-3a^2+27a+153\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)^2\left[\left(a-3\right)^2\left(a+3\right)+36a+126\right]\ge0\) ( đúng )

Do đó (1) đúng => \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{9-a}-\Sigma_{cyc}\frac{12}{a^2+63}\ge\frac{1}{144}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{16}=0\)

\(\Rightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{12}{a^2+63}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{9-a}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+b}\) ( do \(a+b+c\le9\) ) 

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3 

Xét a = b = c = 1 thì thỏa mãn bài ra

Xét a ,b,c khác 1. do a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử \(a\le b\le c\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số a+b+1,1-a,1-b, ta có :

\(\left(a+b+1\right)\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le\left(\frac{a+b+1+1-a+1-b}{3}\right)^3=1\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le\frac{1}{a+b+1}\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\frac{1-c}{a+b+1}\)

Mà \(\frac{a}{b+c+1}\le\frac{a}{a+b+1};\frac{b}{a+c+1}\le\frac{b}{a+b+1}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}\le\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}\)

do đó : \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(\le\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1\)

dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 0

vậy ...

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\)\(\left(a\ne0\right)\)

Ta có: \(\overline{ab2}-\overline{ab}=479\)và \(a-b=2\)

\(\Leftrightarrow\overline{ab}.10+2-\overline{ab}=479\)\(\Leftrightarrow9.\overline{ab}=477\)\(\Leftrightarrow\overline{ab}=53\)thoả mãn điều kiện \(a-b=2\)

Vậy số cần tìm là 53

a,+)Áp dụng định lí py ta go vào tam giác vuông ABC ta có :
 BC=\(\sqrt{AC^2-AB^2}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{12^2-9^2}\)
\(\Rightarrow BC=3\sqrt{7}\)
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC có:
\(BH\times AC=AB\times BC\)
\(\Leftrightarrow BH\times12=9\times3\sqrt{7}\)
\(\Leftrightarrow BH\approx5,95\)
b,Ta có AB=BD(=R)
         =>tam giác ABC cân tại A 
           mà AH là đường cao => AH cũng là tia phân giác BAD hay AC là tia p/g góc BAD
c) xét tam giác ABC và tam giác ADC có :
    AB=AD(=R)
  góc A1 = góc A2 (do AC là tia p/g)
  AC chung 
 => tam giác ABC= tam giác ADC (c-g-c)
 => góc B =góc D (=90 độ) => \(AD\perp DC\)=> DC là tiếp tuyến (A:AB)
 HÌNH BẠN TỰ VẼ NHÉ!
 

Áp dụng định lí viet ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2+x_3=5\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2m+2\end{cases}}\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=41\)

<=> \(\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)=41\)

<=> \(25-2\left(2m+2\right)=41\)

<=> \(m=-5.\)

Xét :

+) \(n=3k\left(k\in N\right)\)

Ta có: \(M=2017^{3k}+2017.3k+\left(3k\right)^{2017}⋮3\)

<=> \(2017^{3k}⋮3\)vô lí vì \(2017:3\)dư 1 nên \(2017^{3k}:3\)dư 1

+) \(n=3k+1\left(k\in N\right)\)

Ta có: \(M=2017^{3k+1}+2017.\left(3k+1\right)+\left(3k+1\right)^{2017}\equiv1+1+1\equiv0\left(mod3\right)\)

=> \(M⋮3\)

+)  \(n=3k+2\left(k\in N\right)\)

Ta có: \(M=2017^{3k+2}+2017.\left(3k+2\right)+\left(3k+2\right)^{2017}\equiv1+2+2^{2017}\equiv1+2+\left(-1\right)^{2017}\equiv2\left(mod3\right)\)

=> \(M⋮̸3\)

Vậy n = 3k +1 ( k là số tự nhiên ) thì M chia hết cho 3.