a) \(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne3\)

b) \(A=\left(\frac{x-2\sqrt{3x}+3}{x-3}\right)\left(\sqrt{4x}+\sqrt{12}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}\right).2\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{x}-2\sqrt{3}\)

c) Thay \(x=4-2\sqrt{3}\)vào A, ta có :

\(A=2\sqrt{4-2\sqrt{3}}-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^2}-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2\left(\sqrt{3}-1\right)-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow A=-2\)

Gọi x, y lần lượt là thời gian vòi 1 , vòi 2 chảy 1 mình đầy bể ( x, y >12, giờ )

=> 1 giờ vòi 1 chảy được \(\frac{1}{x}\)(bể )

1 giờ vòi 2 chảy được \(\frac{1}{y}\)(bể )

mà 1 giờ cả hai vòi chảy được \(\frac{1}{12}\)(bể )

=> Ta có phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\)(1)

Vì vòi 1 chảy trong 5 giờ rồi khóa lại và mở vòi 2 trong 15 giờ thì được 75% bể nên ta có:

\(5.\frac{1}{x}+15.\frac{1}{y}=\frac{75}{100}\)(2)

Từ (1); (2) giải hệ với ẩn \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{20}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\end{cases}}\)<=> x = 20; y = 30

Vậy vò 1 chảy 1 mình trong 20 giờ thì đầy bể; vòi hai chảy 1 mình trong 30 giờ thì đẩy bể.

Áp dụng BĐT C-S:

\(P=\frac{2}{\sqrt{11}}\left[\sqrt{\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right]\left(1+\frac{7}{4}\right)}+\sqrt{\left[\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right]\left(1+\frac{7}{4}\right)}\right]\)

\(\ge\frac{2}{\sqrt{11}}\left[\left(a+\frac{9}{4}\right)+\left(b+\frac{9}{4}\right)\right]=\sqrt{11}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

tth : dấu " \(\ge\)" ?

\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

vì x nguyên để A nhận GT nguyên thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}\in Z\)\(\Rightarrow2⋮\sqrt{x}+1\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(2\right)=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Mà \(\sqrt{x}+1\ge0+1=1\)nên \(\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;1\right\}\)

Đây là bài của lớp 7 mà

Ta có \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)

Vì \(x\in Z\Rightarrow\sqrt{x}\in Z\)

Để \(A\in Z\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{x}+1}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)               

Mà  \(\sqrt{x}\ge0\) \(\forall x\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+1=1\\\sqrt{x}+1=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1;x=-1\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{0;1;-1\right\}\)

ĐKXĐ: \(x.y\ge1\)

Áp dụng BĐT AM - GM: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=x\sqrt{1\left(y-1\right)}+y\sqrt{1\left(x-1\right)}\)

\(\le x.\frac{1+y-1}{2}+y.\frac{1+x-1}{2}=xy\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1=y-1\\1=x-1\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)

Thay xuống pt dưới thấy thỏa mãn.

Vậy x = y = 2

P/s: Em chưa học về hệ pt nên ko chắc ạ, giải đại.