Gọi S là trung điểm của M₁M₄. Ta đi c/m S là điểm cố định.

Trong \(\Delta\)M₁M₂M₄ có: A là trung điểm M₁M₂; S là trung điểm M₁M₄ => AS là đường trung bình \(\Delta\)M₁M₂M₄

=> AS = M₂M₄ /2 và AS // M₂M₄  (1)

Trong \(\Delta\)M₂M₃M₄ có: B là trung điểm M₂M₃ ; C là trung điểm M₃M₄ => BC là đường trung bình \(\Delta\)M₂M₃M₄

=> BC = M₂M₄ /2 và BC // M₂M₄ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AS = BC và AS // BC => Tứ giác ABCS là hình bình hành.

Ta thấy: Hình bình hành ABCS có 3 đỉnh A;B;C cố định nên đỉnh S cố định

=> Trung điểm của M₁M₄ là một điểm cố định (đpcm).

2) ta có: (a+b+c)² = 3.(ab+bc+ca)

=> a² + b² + c² + 2.(ab+bc+ca) = 3.(ab+bc+ca)

=> a² + b² + c² + 2.(ab+bc+ca) - 3.(ab+bc+ca)  = 0

=> a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0

=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

(a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (a² - 2ca+c²) = 0

(a-b)² + (b-c)² + (a-c)² = 0

mà \(\left(a-b\right)^2;\left(b-c\right)^2;\left(a-c\right)^2\ge0.\)

=> a-b = 0 => a = b

b-c = 0 => b = c

=> a=b=c

       \(3\left(x^4+x^2+1\right)-\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(=3\left[\left(x^2+1\right)^2-x^2\right]-\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(=3\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(=\left(3x^2-3x+3\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(3x^2-3x+3-x^2-x-1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(2x^2-4x+2\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right).2.\left(x^2-2x+1\right)\)

\(=2\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)^2\)

Bạn gì ơi , làm nốt hộ mình ý này được không ?
 4x⁴ + 4x³ + 5x² + 2x + 1 

Giang ne

Đặt \(\hept{\begin{cases}n+19=t^2\\n-57=k^2\end{cases}\left(t,k\in N\right)\Rightarrow\left(n+19\right)-\left(n-57\right)=t^2-k^2\Rightarrow}76=\left(t-k\right)\left(t+k\right)\)

Ta có: \(76=1.76=2.38=4.19\)

Mà t - k và t + k là 2 số cùng tính chẵn lẻ, \(t-k< t+k\)

Nên \(\hept{\begin{cases}t-k=2\\t+k=38\end{cases}\Rightarrow t=\left(2+38\right):2=20}\)

Ta có: \(n+19=t^2\)

Thay t = 20, tính được n = 381

Chúc bạn học tốt.