Bài làm:

a) Ta có: \(4^{10}-1=\left(4^5-1\right)\left(4^5+1\right)\) là hợp số

b) Ta có: \(2^{50}+1\)

\(=\left(2^{25}\right)^2+2.2^{25}+1-2^{26}\)

\(=\left(2^{25}+1\right)^2-\left(2^{13}\right)^2\)

\(=\left(2^{25}-2^{13}+1\right)\left(2^{25}+2^{13}+1\right)\) là hợp số

=> đpcm

Bài làm:

Ta có: Đặt \(m=\left(a^2+b^2\right)\) \(\left(a,b\inℤ\right)\)

=> \(m^2=\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+2a^2b^2+b^4\)

\(=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+4a^2b^2\)

\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)

Vì \(a,b\inℤ\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^2-b^2\right)^2\\\left(2ab\right)^2\end{cases}}\) là các số chính phương

=> m² là tổng của 2 số chính phương

=> đpcm

Mình không biết vẽ hình trên đây bạn tự vẽ hình nhé

a, Chứng minh DHMK là hình chữ nhật

Xét tứ giác DHMK có:  Góc D= Góc H= Góc F(=90 độ)

=> DHMK là hình chữ nhật

b, Chứng minh DE.DF=EF.DM và DE.DF=EF.HK

Xét tam giác DEF và tam giác MDF có:      Góc D= Góc M(=90 độ)

                                                                    Góc F:chung

=> Tam giác DEF đồng dạng với tam giác MDF(g.g)

=>\(\frac{DE}{MD}=\frac{EF}{DF}\)

=>DE.DF=EF.MD

Xét tam giác MDE và tam giác DFE có:     Góc M= Góc D(=90 độ)

                                                                    Góc E:chung

=>Tam giác MDE đồng dạng với tam giác DFE(g.g)

=>\(\frac{DE}{FE}=\frac{MD}{DF}\)

=>DE.DF=FE.MD

mà MD=HK(DHMK là hình chữ nhật)

=>DE.DF=FE.HK

c, Chứng minh DM²=EM.FM và HK²=EM.FM

Ta có:   Góc E+ Góc F=90 độ

             Góc F+ Góc D=90 độ 

=> Góc E= Góc D(cùng phụ với góc F)

Xét tam giác MDE và tam giác MFD có:     Góc E= Góc D

                                                                    Góc M:chung

=>Tam giác MDE đồng dạng với tam giác MFD(g.g)

=> \(\frac{MD}{MF}=\frac{ME}{MD}\)

=>MD²=ME.MF

Ta có:MD=HK(DHMK là hình chữ nhật)

mà MD²=ME.MF

=>HK²=ME.MF

\(x\left(x-1\right)=x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của bt trên = - 1/4 <=> x = 1/2

x( x - 1 )

= x² - x

= ( x² - 2.1/2.x + 1/4 ) - 1/4

= ( x - 1/2 )² - 1/4

( x - 1/2 )² ≥ 0 ∀ x => ( x - 1/2 )² - 1/4 ≥ -1/4

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/2 = 0 => x = 1/2

Vậy GTNN của biểu thức = -1/4 <=> x = 1/2

\(x^3+x^2+x=3\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x-x^2-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+2x+3\right)-\left(x^2+2x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+2x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+2x+3=0\end{cases}}\)

+) x - 1 = 0 <=> x = 1

+) x² + 2x + 3 = 0

Mà \(x^2+2x+3=\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

=> Không có x tm trong th này

Vậy pt có nghiệm là x = 1

x³ + x² + x = 3

<=> x³ + x² + x - 3 = 0

<=> x³ + 2x² - x² + 3x - 2x - 3 = 0

<=> ( x³ + 2x² + 3x ) - ( x² + 2x + 3 ) = 0

<=> x( x² + 2x + 3 ) - 1( x² + 2x + 3 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x² + 2x + 3 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2+2x+3=0\end{cases}}\)

+) x - 1 = 0 => x = 1

+) x² + 2x + 3 = ( x² + 2x + 1 ) + 2 = ( x + 1 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1