3x⁴ - 8x³ + 16 

Thử với x = 2 ta được :

3.2⁴ - 8.2³ + 16 = 0

Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức . Theo hệ quả của định lí Bézout thì đa thức trên chia hết cho x - 2

Thực hiện phép chia 3x⁴ - 8x³ + 16 cho x - 2 ta được 3x³ - 2x² - 4x - 8

=> 3x⁴ - 8x³ + 16 = ( x - 2 )( 3x³ - 2x² - 4x - 8 )

Ta có : 3x³ - 2x² - 4x - 8 

= 3x³ + 4x² + 4x - 6x² - 8x - 8

= x( 3x² + 4x + 4 ) - 2( 3x² + 4x + 4 )

= ( x - 2 )( 3x² + 4x + 4 )

Tổng kết : 3x⁴ - 8x³ + 16 = ( x - 2 )( x - 2 )( 3x² + 4x + 4 ) = ( x - 2 )²( 3x² + 4x + 4 )

Ta có: \(3x^4-8x^3+16=\left(3x^4-12x^3+12x^2\right)+\left(4x^3-16x^2+16x\right)+\left(4x^2-16x+16\right)\)

                                            \(=3x^2.\left(x^2-4x+4\right)+4x.\left(x^2-4x+4\right)+4.\left(x^2-4x+4\right)\)

                                            \(=\left(3x^3+4x+4\right)\left(x-2\right)^2\)

a) Thiếu VP

b) 4 - x = 2( x - 4 )²

<=> 4 - x = 2( x² - 8x + 16 )

<=> 4 - x = 2x² - 16x + 32

<=> 2x² - 16x + 32 - 4 + x = 0

<=> 2x² - 15x + 28 = 0

<=> 2x² - 8x - 7x + 28 = 0

<=> 2x( x - 4 ) - 7( x - 4 ) = 0

<=> ( x - 4 )( 2x - 7 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-4=0\\2x-7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=\frac{7}{2}\end{cases}}\)

c) ( x² + 1 )( x - 2 ) + 2x = 4

<=> x³ - 2x² + 3x - 2 - 4 = 0

<=> x³ - 2x² + 3x - 6 = 0

<=> x²( x - 2 ) + 3( x - 2 ) = 0

<=> ( x - 2 )( x² + 3 ) = 0

<=> x = 2 ( vì x² + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x )

a, thiếu 

b, \(4-x=2\left(x-4\right)^2\Leftrightarrow4-x=2\left(x^2-8x+16\right)\)

\(\Leftrightarrow4-x=2x^2-16x+32\Leftrightarrow2x^2-15x+28=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(2x-7\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=\frac{7}{2}\end{cases}}\)

c, \(\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)+2x=4\Leftrightarrow x^3-2x^2+3x-6=0\Leftrightarrow x_1=2;x_2=\sqrt{3}i\)

Bài làm:

Ta có: \(2n\left(16-n^4\right)\)

\(=2n\left(4-n^2\right)\left(4+n^2\right)\)

\(=2n\left(2-n\right)\left(2+n\right)\left(4+n^2\right)\)

\(=-2n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(4+n^2\right)\)

Mình học lớp 8 nên vẫn chưa biết "Min" là gì vậy bạn?

\(S=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)

\(=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\)

Dễ có:\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}=8\)

Khi đó:\(S\ge\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}\)

Vậy ta có đpcm

Bài làm:

Đặt \(a^2+a+43=x^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4a+172=4x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4a^2+4a+1\right)+171=4x^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)^2+171=4x^2\)

\(\Leftrightarrow4x^2-\left(2a+1\right)^2=171\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2a-1\right)\left(2x+2a+1\right)=171=1.171=3.57=9.19\)

Ta thấy \(4x^2-\left(2a+1\right)^2=171\Rightarrow2x>2a+1\), mà x là số tự nhiên nên

=> \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1>0\\2x+2a+1>0\end{cases}}\Rightarrow2x-2a-1< 2x+2a+1\)

Ta xét các TH sau:

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=1\\2x+2a+1=171\end{cases}}\Rightarrow4a+2=170\Leftrightarrow4a=168\Rightarrow a=42\)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=3\\2x+2a+1=57\end{cases}\Rightarrow}4a+2=54\Leftrightarrow4a=52\Rightarrow a=13\)

+ Nếu: \(\hept{\begin{cases}2x-2a-1=9\\2x+2a+1=19\end{cases}}\Rightarrow4a+2=10\Leftrightarrow4a=8\Rightarrow a=2\)

Vậy \(a\in\left\{2;13;42\right\}\) thì a²+a+43 là số chính phương

e) Ta có: \(a^3x-ab+b-x\)

\(=x\left(a^3-1\right)-b\left(a-1\right)\)

\(=\left(a-1\right)\left(a^2x+ax+a-b\right)\)