a) Theo bất đẳng thức tam giác ta có :
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(a+b+c=2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2-a\\a+b=2-c\\a+c=2-b\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 2-a\\b< 2-b\\c< 2-c\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 2\\2b< 2\\2c< 2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 1\\b< 1\\c< 1\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

b )  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\le\left(\frac{2a}{2}\right)^2=a^2\)

Tường tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\\\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(abc\right)^2\ge\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge8\left(ab+bc+ca\right)-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge8\left(ab+bc+ca\right)\)

\(+4\left(a^2+b^2+c^2\right)-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\left(a+b+c\right)^2-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge8\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

Ta có : \(\widehat{AMB}+\widehat{BMC}+\widehat{DMC}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}+\widehat{DMC}=90^0\)

Đồng thời : \(\widehat{AMB}+\widehat{ABM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DMC}=\widehat{ABM}\)

Xét \(\Delta ABM\)VÀ \(\Delta DMC\)có :

\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}=90^0\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{DMC}\)

Do đó \(\Delta ABM\)đồng dạng \(\Delta DMC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{MD}{DC}\Rightarrow AB.DC=MD.AM\)

Mà \(AM=MD\) , nên : \(AB.DC=AM.AM\left(đpcm\right)\)

b ) Vì \(\Delta ABM\)đồng dạng \(\Delta DMC\)nên :
\(\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{MD}\)hay \(\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AM}\)

Đồng thời : \(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}=90^0\)

Do đó  tam giác ABM đồng dạng tam giác MBC(c-g-c)

Chúc bạn học tốt !!!

Giả sử n = 8k + 7 là tổng của 3 bình phương

Vì 8k + 7 là số lẻ nên 8k + 7 chỉ có thể tách thành tổng các bình phương của 3 số lẻ hoặc 2 số chẵn 1 số lẻ

Mà số chính phương chia 8 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

Do đó, nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 3 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 1 + 1 + 1 = 3, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7

nếu 8k + 7 có thể tách thành tổng 2 số chẵn 1 số lẻ thì 8k + 7 chia 8 dư 0 + 0 + 1 = 1 hoặc 0 + 4 + 1 = 5 hoặc 4 + 4 + 1 = 9, vô lý vì 8k + 7 chia 8 dư 7=>đpcm